一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如， $x^{2}-3x+2=2$ ， $\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$ ， $t^{2}-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是　 $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$

其中， $ax^{2}$ 是二次项， $bx$ 是一次项， $c$ 是常数项。 $a\neq 0$ 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后， $a\neq 0$ 也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現复數根。

历史编辑

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx=-c$

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即^[1] $4a$ ，得　 $4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即 $b^{2}$ ，得　 $4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

然后在方程的两边同时开二次方根，得　 $2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}$

解法编辑

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

因式分解法编辑

把一个关于 $x$ 一元二次方程变形成一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 后，如果 $ax^{2}+bx+c=0$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 存在两个实根 $x_{1},x_{2}$ ，那么它可以因式分解为 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 。

例如，解一元二次方程 $x^{2}-3x+2=0$ 时，可将原方程左边分解成 $\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$ ，所以 $x-1=0\quad x-2=0$ ，可解得 $x_{1}=1\quad x_{2}=2$

公式解法编辑

对于 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ ，若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$ ，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$ ，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$ ，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$ 。

公式解的证明编辑

公式解可以由配方法得出。

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0$

①移项，得：

$ax^{2}+bx=-c$ ；

②二次项系数化为 $1$ ，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$ ；

③配方，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}$ ，

${\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ ；

因为 $a\neq 0$ ，所以

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$ ，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$ ，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$ ，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$ 。

一般化编辑

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式 ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 $b^{2}-4ac$ 的數當中任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。

根的判别式编辑

对于实系数一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$ ， $\Delta =b^{2}-4ac$ 称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

如果 $\Delta >0$ ，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且 $\Delta$ 是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

如果 $\Delta =0$ ，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$

如果 $\Delta <0$ ，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为 $x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$ ，其中 ${\text{i}}={\sqrt {-1}}$ 。