二元关系

数学上，二元关系（英語：Binary relation，或简称关系）用於讨论两种物件的连系。诸如算术中的「大於」及「等於」、几何学中的「相似」或集合论中的「为……之元素」、「为……之子集」。

定义

實際上是以列舉二元有序对的方式去定義二元關係 $R$ ，也就是一個集合滿足

• 對所有的 $r\in R$ 存在 $x$ 且存在 $y$ 使 $r=(x,\,y)$

或是以正式的邏輯符號表述為

$(\forall r\in R)(\exists x)(\exists y)[\,r=(x,\,y)\,]$

例一：有四件物件 {球，糖，车，枪} 及四个人 {甲，乙，丙，丁} 。若甲擁有球、乙擁有糖、丙一無所有但丁擁有车，则「擁有」的二元关系可以寫為

$R$ = {(球，甲), (糖，乙), (车，丁)}

其中二元有序对的第一项是被擁有的物件，第二项是擁有者。

例二：實數系 $\mathbb {R}$ 上的「大於關係」可定義為

$>\,:=\{\,(a,\,b)\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists r\in \mathbb {R} )[\,(a=b+r)\wedge (r\neq 0)\,]\}$

由於習慣上 $(a,\,b)\in \,>$ 通常都是寫為 $a>b$ ，更一般來說，不引起混淆的話會把 $(x,\,y)\in R$ 簡寫成 $xRy$ 。

集合的關係

集合$X$与集合$Y$上的二元关系則定義為 $R=(X,Y,G(R))$ ，当中 $G(R)\subseteq X\times Y$ ( 請參見笛卡儿积 ) ，称为 $R$ 的图。若 $(x,y)\in G(R)$ 则称 $x$ 与 $y$ 有关系 $R$ ，并记作 $xRy$ 或 $R(x,y)$ 。

但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 $R\subseteq X\times Y$ 则 $R$ 是一个关系。

话虽如此，我们很多時候索性把集合間的關係 $R$ 定义为 $G(R)$ 而 “有序对 $(x,y)\in G(R)$ ” 即是 “ $(x,y)\in R$ ”。

特殊的二元关系

设$A$是一个集合，则

1. 空集$\varnothing$称作$A$上的空关系
2. $E_{A}=A\times A$称作$A$上的全域关系（完全關係）
3. $I_{A}=\{(x,x)|x\in A\}$称作$A$上的恒等关系

关系矩阵

设$X=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$及$Y=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}\}$，$R$是$X$ 和$Y$上的关系，令

$r_{ij}={\begin{cases}1&(x_{i},y_{j})\in R\\0&(x_{i},y_{j})\notin R\end{cases}}$

则0,1矩阵

$(r_{ij})={\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}&\cdots &r_{1m}\\r_{21}&r_{22}&\cdots &r_{2m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\r_{n1}&r_{n2}&\cdots &r_{nm}\end{bmatrix}}$

称为$R$的关系矩阵，记作$M_{R}$。

关系图

设$A=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$，$R$是$A$上的关系，令图$G=(V,E)$，其中顶点集合$V=A$，边集合为$E$，且对于任意的$x_{i},x_{j}\in V$，满足$(x_{i},x_{j})\in E$当且仅当$(x_{i},x_{j})\in R$。则称图$G$是关系$R$的关系图，记作$G_{R}$。

运算

关系的基本运算有以下几种：

• 设$R$为二元关系，$R$中所有有序对的第一元素构成的集合称为$R$的定义域，记作${\mbox{dom}}(R)$。形式化表示为

${\mbox{dom}}(R)=\{\,x\,|\,(\exists y)[\,(x,y)\in R\,]\,\}$

• 设$R$为二元关系，$R$中所有有序对的第二元素构成的集合称为$R$的值域，记作${\mbox{ran}}(R)$。形式化表示为

${\mbox{ran}}(R)=\{\,y\,|\,(\exists x)[\,(x,y)\in R\,]\,\}$

• 设$R$为二元关系，$R$的定义域和值域的并集称作$R$的域，记作${\mbox{fld}}(R)$，形式化表示为

${\mbox{fld}}(R)={\mbox{dom}}(R)\cup {\mbox{ran}}(R)$

• 设$R$为二元关系，$R$的逆关系，简称$R$的逆，记作$R^{-1}$，其中

$R^{-1}=\{\,p\,|\,(\exists x)(\exists y)[\,(x,y)\in R\wedge p=(y,x)\,]\,\}$

• 设$F,G$为二元关系，$G$與$F$的合成關係记作$F\circ G$，其中

$F\circ G=\{(x,y)|\exists t,~(x,t)\in F\wedge (t,y)\in G\}$

• 设$R$为二元关系，$A$是一个集合。$R$在$A$上的限制记作$R\upharpoonright A$，其中

$R\upharpoonright A=\{(x,y)|(x,y)\in R\wedge x\in A\}$

• 设$R$为二元关系，$A$是一个集合。$A$在$R$下的像记作$R[A]$，其中

$R[A]={\mbox{ran}}(R\upharpoonright A)$

• 设$R$为$A$上的二元关系，在右复合的基础上可以定义关系的幂运算：

$R^{0}=I_{A}\$
$R^{n+1}=R^{n}\circ R\$

性质

关系的性质主要有以下五种：

• 自反性：$\forall x\in A,~(x,x)\in R$

在集合X上的关系R，如对任意$x\in X$，有$(x,x)\in R$，则称R是自反的。

• 非自反性（自反性的否定的強型式）：$\forall x\in A,~~(x,x)\notin R$

在集合X上的关系R，如对任意$x\in X$，有$(x,x)\notin R$，则称R是非自反的。

• 对称性：$\forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\in R$

在集合X上的关系R，如果有$(x,y)\in R$且$x\neq y$必有$(y,x)\in R$，则称R是对称的。

• 反对称性（不是對稱性的否定）：$\forall x,y\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,x)\in R)\implies x=y$
• 非對稱性（對稱性的否定的強型式）：$\forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\notin R$

非對稱性是 滿足非自反性的反對稱性。

• 传递性：$\forall x,y,z\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)\implies (x,z)\in R$

设$R$为集合$A$上的关系，下面给出$R$的五种性质成立的充要条件：

1. $R$在$A$上自反，当且仅当$I_{A}\subseteq R$
2. $R$在$A$上非自反，当且仅当$R\cap I_{A}=\emptyset$
3. $R$在$A$上对称，当且仅当$R=R^{-1}\$
4. $R$在$A$上反对称，当且仅当$R\cap R^{-1}\subseteq I_{A}$
5. $R$在$A$上非對稱，当且仅当$R\cap R^{-1}=\emptyset$
6. $R$在$A$上传递，当且仅当$R\circ R\subseteq R$

闭包

设$R$是非空集合$A$上的关系，$R$的自反（对称或传递）闭包是$A$上的关系$R'$，满足

1. $R'$是自反的（对称的或传递的）
2. $R\subseteq R'$
3. 对$A$上任何包含$R$的自反（对称或传递）关系$R''$有$R'\subseteq R''$

一般将$R$的自反闭包记作$r(R)$，对称闭包记作$s(R)$，传递闭包记作$t(R)$。

下列三个定理给出了构造闭包的方法：

1. $r(R)=R\cup R^{0}$
2. $s(R)=R\cup R^{-1}$
3. $t(R)=R\cup R^{2}\cup R^{3}\cup \cdots$

对于有限集合$A$上的关系$R$，存在一个正整数$r$，使得

$t(R)=R\cup R^{2}\cup \cdots \cup R^{r}$

求传递闭包是图论中一个非常重要的问题，例如给定了一个城市的交通地图，可利用求传递闭包的方法获知任意两个地点之间是否有路相连通。可以直接利用关系矩阵相乘来求传递闭包，但那样做复杂度比较高；好一点的办法是在计算矩阵相乘的时候用分治法降低时间复杂度；但最好的方法是利用基于动态规划的Floyd-Warshall算法来求传递闭包。

参见

• 有序对
• 二元集合
• 笛卡儿积
• 偏序关系
• 等价关系
• 相容关系