交错多项式

代数中，交错多项式（alternating polynomial）是多项式$f(x_{1},\dots ,x_{n})$，使得交换任意两个变量，多项式的符号发生变化：

$f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).$

等价地，排列变量时，多项式的值会因排列的符号而改变：

$f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).$

更一般地说，若交换$x_{i}$中任意两个变量会改变符号、而交换$y_{j}$则保持不变，就称多项式$f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})$在$x_{1},\dots ,x_{n}$中交错。

与对称多项式的关系

对称多项式与交错多项式（具有相同的变量$x_{1},\dots ,x_{n}$）之积有如下表现：

• 两对称多项式之积仍是对称的；
• 对称多项式与交错多项式之积是交错的；
• 两交错多项式之积是对称的。

这正是奇偶性的加法表，“对称”对应“偶”，“交错”对应“奇”。于是，对称多项式与交错多项式的直和构成了超代数（$\mathbf {Z} _{2}$-分次代数），其中对称多项式是偶部，交错多项式是奇部。分次与多项式的次数无关。

交错多项式在对称多项式代数上形成了模（超代数的奇部是偶部上的模）；事实上，它是秩为1的自由模，以n元范德蒙多项式为生成子。

若系数环的特征为2，则这两个概念没有区别，即交错多项式就是对称多项式。

范德蒙多项式

主条目：范德蒙多项式

基本交错多项式是范德蒙多项式：

$v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

这显然是交错的，交换两变量会改变其中一项的符号，而不改变其他项的符号。

交错多项式正是范德蒙多项式乘以对称多项式：$a=v_{n}\cdot s$，其中s是对称多项式。这是因为：

• $v_{n}$是每个交错多项式的因式：$(x_{j}-x_{i})$是每个交错多项式的因式，因为如果$x_{i}=x_{j}$，则多项式为零（交换它们不会改变多项式，所以得到

$f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),$

于是$(x_{j}-x_{i})$是因式），于是$v_{n}$是因式。

• 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是$v_{n}$的所有倍数都是交错多项式。

相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。

环结构

因此，用$\Lambda _{n}$表示对称多项式环，则对称与交错多项式环是$\Lambda _{n}[v_{n}]$，更精确地说是$\Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle$，其中$\Delta =v_{n}^{2}$是对称多项式，即判别式。

也就是说，对称与交错多项式环是对称多项式环的2次扩张，其中伴随了一个判别式的平方根。

或者说，是

$R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .$

若2不可逆，情况就有些不同，必须使用不同的多项式$W_{n}$，得到不同的关系。见Romagny。

表示论

更多信息：对称群表示论

从表示论视角来看，对称与交错多项式是对称群在n元多项式环的n个字母上的作用的子表示。（形式上，对称群作用于n个字母，因此也作用于导出对象，如n个字母上的自由对象——多项式环之类。）

对称群有2个1维表示：平凡表示与符号表示。对称多项式是平凡表示，交错多项式是符号表示。形式上，任何对称（或交错）多项式的标量跨度（scalar span）是对称群的平凡（或符号）表示，多项式的乘法张量就是表示。

特征为2时，这些并不是不同的表示，分析就复杂了。

若$n>2$，对称群对多项式环的作用还有其他子表示，这在对称群表示定理中有讨论。

不稳定

交错多项式是不稳定的现象：n元对称多项式环可从任意多元对称多项式环得到，方法是计算$x_{n}$以上的变量对应的值设为0，因此对称多项式的定义是“稳定”或“兼容”的。然而，交错多项式，尤其范德蒙多项式却并非如此。

另见

• 对称多项式
• 欧拉类

参考文献

• Giambruno, Antonio; Zaicev, Mikhail. Polynomial Identities and Asymptotic Methods 122. American Mathematical Society. 2005. 
• The fundamental theorem of alternating functions, by Matthieu Romagny, September 15, 2005