数学上,两个集合A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}的交集是含有所有既属于A{\displaystyle A}又属于B{\displaystyle B}的元素,而没有其他元素的集合。
交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 A∩B{\displaystyle A\cap B} :
也就是直觀上:
A{\displaystyle A} 和B{\displaystyle B} 的交集写作「A∩B{\displaystyle A\cap B} 」,「對所有 x{\displaystyle x} , x∈A∩B{\displaystyle x\in A\cap B} 等價於 x∈A{\displaystyle x\in A} 且 x∈B{\displaystyle x\in B} 」
例如:集合{1,2,3}{\displaystyle \{1,2,3\}} 和{2,3,4}{\displaystyle \{2,3,4\}} 的交集为{2,3}{\displaystyle \{2,3\}} 。数字9{\displaystyle 9} 不属于素数集合{2,3,5,7,11,…}{\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}} 和奇数集合{1,3,5,7,9,11,…}{\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}} 的交集。
若两个集合A{\displaystyle A} 和B{\displaystyle B} 的交集为空,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作:A∩B=∅{\displaystyle A\cap B=\varnothing } 。例如集合{1,2}{\displaystyle \{1,2\}} 和{3,4}{\displaystyle \{3,4\}} 不相交,写作{1,2}∩{3,4}=∅{\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing } 。
更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合A,B{\displaystyle A,B} ,C{\displaystyle C} 和D{\displaystyle D} 的交集为A∩B∩C∩D=A∩(B∩(C∩D)){\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))} 。交集运算满足结合律。即:
以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。
取一个集合 M{\displaystyle {\mathcal {M}}} ,則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合:
也就是直觀上蒐集所有 Mc{\displaystyle M^{c}} 的集合, 這樣的話有:
根據一阶逻辑的定理(Ce),也就是:
但根據一阶逻辑的等式相關定理,下式:
顯然是個定理(也就是直觀上為真),故:
換句話說:
那可以做如下的符號定義:
稱為 M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有 x{\displaystyle x} , x∈⋂M{\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}} 等價於對任何 M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 的下屬集合 M{\displaystyle M} ,都有 x∈M{\displaystyle x\in M} 」
例如:
類似於无限并集,无限交集的表示符號也有多種
可模仿求和符号記為
但大多數人會假設指标集 I{\displaystyle I} 的存在,換句話說
在指标集 I{\displaystyle I} 是自然数系 N{\displaystyle \mathbb {N} } 的情况下,更可以仿无穷级数來表示,也就是說:
也可以更粗略直觀的將 ⋂i=1∞A(i){\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)} 写作A1∩A2∩A3∩…{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots } 。