共轭类

数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性，而且研究非交换群的共轭类可以看出很多关于它们的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。

在同一个共轭类上取常值的函数称为类函数。

定义

设$G$为群。对于$G$中共轭的两个元素$a$和$b$，必存在$G$中一个元素$g$，满足

$gag^{-1}=b$。

（在线性代数中，這叫做相似變換。）

很容易证明共轭是等价关系，因此将$G$分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类$\mathrm {Cl} (a)$和$\mathrm {Cl} (b)$相等当且仅当$a$和$b$共轭，否则不相交。）包含元素$a$属于$G$的等价类是

$\mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}:g\in G\}$

并称为$a$的共轭类。$G$的类数是共轭类的个数。

例子

对称群$S_{3}$，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

• 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
• 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
• 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群$S_{4}$，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

• 恒等
• 对换
• 三阶轮换
• 四阶轮换
• 双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

• 在$n\times n$矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

属性

• 单位元总是自成一类，也就是说$\mathrm {Cl} (e)=\{e\}$。

• 若$G$可交换，则$gag^{-1}=a$对于所有$a$和$g$属于$G$成立；所以$\mathrm {Cl} (a)=\{a\}$对于$a$属于$G$成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

• 若$G$的两个元素$a$和$b$属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的階。更一般地讲，每个关于$a$的命题可以转换成关于$b=gag^{-1}$的一个命题，因为映射$\varphi (x)=gxg^{-1}$是一个$G$的自同构。

• $G$的一个元素$a$位于$G$的中心$\mathrm {Z} (G)$当且仅当其共轭类只有一个元素，$a$本身。更一般地讲，若$\mathrm {C} _{G}(a)$代表$G$中$\{a\}$的中心化子，也即，有所有满足$ga=ag$的元素$g$组成的子群，则指数$[G:\mathrm {C} _{G}(a)]$等于$a$的共轭类中元素的个数。

共轭类方程

若G为有限群，则上节的内容，加上拉格朗日定理，可以得出如下结论：每个共轭类的元素个数整除G的階。

进一步的有，对于任何群G，可以通过从G的每个元素个数大于1的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集S = {x_i}。则G是Z(G)和S的元素的共轭类Cl(x_i)的不交并集。由此可以写出重要的类方程：

|G| = |Z(G)| + ∑ _i [G:H _i ]

其中求和取遍对于每个S中的x_i的H_i = C_G(x_i)。注意[G : H_i]是共轭类i的元素个数，一个|G|的大于1的除数。如果|G|的除数已知，则该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子

考虑一个有限p-群G（也即，次数为pⁿ的群，其中p是一个质数而n > 0）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为G的任意子群的次数必须整除G的次数，所以每个H_i也是某个幂p^{( k_i )}。但是类方程要求|G| = pⁿ = |Z(G)| + ∑_i (p^{( k_i )})。因此我们可以看出p必须整除|Z(G)|，所以|Z(G)| > 1。

子群和一般子集的共轭

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg⁻¹。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg⁻¹ = hSh⁻¹当且仅当gh ⁻¹属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

作为群作用的共轭类

如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg⁻¹

则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg⁻¹。

参看

• 群
• 群作用
• 中心化子和正规化子

参考

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
• Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
• Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X