分数小波变换

分数小波变换(Fractional wavelet transform,缩写:FRWT)是传统小波变换(Wavelet transform)的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性,同时,类似于分数傅里叶变换,可以表示分数阶域的信号特征。

定义

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分数傅里叶变换(FRFT)[1]是傅里叶变换(FT)的推广,它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。[2]然而,由于分数傅里叶变换使用全局核函数,它只强调了存在某些成分,而没有说明这些成分的时间定位。因此,对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。

对FRFT的一个修改时短时分数傅里叶变换(STFRFT)。[3][4]STFRFT的思想时使用具有时间局域性的窗函数将信号分段,然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析,然而,由于窗函数的长度是预先固定的,STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之,STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束[5],即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率;宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而多数实际信号高频成分持续时间较短,而低频成分持续时间较长。

Mendlovic和David推广了小波变换,提出了分数小波变换(FRWT)。[6]

FRWT被定义为FRFT和小波变换(WT)的级联,即:

 

其中,变换的核函数 为:

 

其中  表示 的FRFT。然而,由于时间信号在变换中丢失,这并不是时间-FRFT联合分布。

此外,Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT,并称这种表达为FRWT。[7]即:

 

其中  表示  的傅里叶变换(参数缩放了 倍)。显然,这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。

最近, Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积[8]提出了新的关于FRWT的定义。[9]任意平方可积函数 的FRFT定义为:

 

其中 是对母小波 的Chirp调制和连续仿射变换,即:

 

其中, 是尺度参数; 是位移参数。对应的逆FRWT变换为:

 

其中 是与选用的小波相关的常数,该常数决定了重建能否进行,即容许性条件(Admissibility condition):

 

其中 表示 的傅里叶变换。容许性条件表明 ,即 。因此,连续分数小波必须表现出震荡的性质,并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看, 的FRWT变换可以用FRFT域来表示,即:

 

其中 表示对 的FRFT, 表示 的傅里叶变换(参数缩放了 倍)。当 时,FRWT退化为传统的小波变换。文献[9][10]对此类FRWT进行了深入的讨论。

分数小波变换的多分辨分析(MRA)

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该文[11]概述了分数小波变换及其多分辨分析。

参考文献

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  1. ^ H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky, and M. A. Kutay, The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing. Wiley, New York, 2000.
  2. ^ E. Sejdic, I. Djurovic, and L. Stankovic, "Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments," Signal Process., vol. 91, pp. 1351--1369, 2011.
  3. ^ L. Stankovic, T. Alieva, and M. J. Bastiaans, "Time-frequency signal analysis based on the windowed fractional Fourier transform,"Signal Process., vol. 83, pp. 2459--2468, 2003.
  4. ^ R. Tao, Y. Lei, and Y. Wang, "Short-time fractional Fourier transform and its applications," IEEE Trans. Signal Process., vol. 58, pp. 2568--2580, 2010.
  5. ^ J. Shi, X.-P. Liu, and N.-T. Zhang, "On uncertainty principle for signal concentrations with fractional Fourier transform," Signal Process., vol. 92, pp. 2830--2836, 2012.
  6. ^ D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia, and C. Ferreira, "Fractional wavelet transform," Appl. Opt., vol. 36, pp. 4801--4806, 1997.
  7. ^ A. Prasad and A. Mahato, "The fractional wavelet transform on spaces of type S," Integral Transform Spec. Funct., vol. 23, no. 4, pp. 237--249, 2012.
  8. ^ Shi, J.; Chi, Y.-G.; Zhang, N.-T. Multichannel sampling and reconstruction of bandlimited signals in fractional Fourier domain. IEEE Signal Process. Lett. 2010, 17 (11): 909–912. Bibcode:2010ISPL...17..909S. S2CID 17547603. doi:10.1109/lsp.2010.2071383. 
  9. ^ 9.0 9.1 Shi, J.; Zhang, N.-T.; Liu, X.-P. A novel fractional wavelet transform and its applications. Sci. China Inf. Sci. 2011, 55 (6): 1270–1279. doi:10.1007/s11432-011-4320-x . 
  10. ^ Wavelet Transforms and Their Applications. Wavelet Transforms and Their Applications. [2023-02-28]. doi:10.1007/978-0-8176-8418-1. (原始内容存档于2023-02-28) (英语). 
  11. ^ Shi, J.; Liu, X.-P.; Zhang, N.-T. Multiresolution analysis and orthogonal wavelets associated with fractional wavelet transform. Signal, Image, Video Process. 2015, 9 (1): 211–220. S2CID 3807003. doi:10.1007/s11760-013-0498-2.