倒向随机微分方程

倒向随机微分方程（BSDE）是带有终点条件的随机微分方程，其解要根据底层滤波进行调整。BSDE自然地出现在各种应用中，如随机控制、金融数学与非线性费曼-卡茨公式。

背景

1973年让-米歇尔·比斯姆提出了BSDE线性情形，1990年法国学者Etienne Pardoux和中国学者彭实戈合作发表的论文中提出BSDE非线性情形，线性是广泛的非线性中的一特殊形式。

数学框架

固定终点时刻$T>0$与概率空间$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$。令$(B_{t})_{t\in [0,T]}$为布朗运动，其自然滤波$({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$。BSDE是积分方程，其类型为

$Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],$

(1)

其中$f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$称作BSDE的生成器，终点条件$\xi$是${\mathcal {F}}_{T}$-可测随机变量，解$(Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}$包含随机过程$(Y_{t})_{t\in [0,T]}$、$(Z_{t})_{t\in [0,T]}$，其适应于过滤$({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$。

例子

在$f\equiv 0$情形下，BSDE (1)简化为

$Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].$

(2)

若$\xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )$，则根据鞅表示定理，存在唯一的随机过程$(Z_{t})_{t\in [0,T]}$使$Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]$、$Z_{t}$满足BSDE (2)。

另见

• 鞅表示定理
• 随机控制
• 随机微分方程

阅读更多

• Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel. Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations. Stochastic modeling and applied probability. Springer International Publishing Switzerland. 2014. 
• Zhang, Jianfeng. Backward stochastic differential equations. Probability theory and stochastic modeling. Springer New York, NY. 2017.