叶状结构

微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间$\mathbb {R} ^{n}$的分解为标准嵌入子空间$\mathbb {R} ^{p}$的陪集$x+\mathbb {R} ^{p}$为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（$C^{r}$类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的$C^{r}$类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则$C^{0}$就是拓扑叶状结构）。p（叶的维度）称作叶状结构的维度，$q=n-p$称作其余维数。

里布叶状结构的2维截面

里布叶状结构的3维模型

在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的洛伦兹流形（(p+1)维时空）分解为p维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为时间函数，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。

叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有良定义的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。

叶状图与图册

为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。

3维叶状图（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是2维的，横截（transversal）是1维的。

$\mathbb {R} ^{n}$中的矩邻域是形式为$B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$的开子集，其中$J_{i}$是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若$J_{1}$具有形式$(a,\ 0]$，则称B具有边界

$\partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.$

在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在$\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}$，允许流形具有边界和（凸）角的可能。

n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是$(U,\ \varphi )$，其中$U\subset M$是开集，$\varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }$是微分同胚，$B_{\pitchfork }$是$\mathbb {R} ^{q}$中的矩邻域，$B_{\tau }$是$\mathbb {R} ^{p}$中的矩邻域。集合$P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})$，其中$y\in B_{\pitchfork }$称作这叶状图的斑（plaque）。$\forall x\in B_{\tau }$，集合$S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })$称作叶状图的横截（transversal）。集合$\partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))$称作U的切边界（tangential boundary），$\partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })$称作U的横截边界（transverse boundary）。

叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。$B_{\tau }$表示“B-切”，$B_{\pitchfork }$表示“B-截”。还有多种可能。若$B_{\pitchfork },\ B_{\tau }$都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }$，则$\partial U=\partial _{\tau }U$是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若$\partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }$，则$\partial U=\partial _{\pitchfork }U$是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }$，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。

(a) 与边界相切的叶状结构$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }$； (b) 与边界相截的叶状结构$\partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }$； (c) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构$\partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }$。

n-流形M上余维为q的$C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )$类叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的$C^{r}$-图册${\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}$，只要P、Q在${\mathcal {U}}$的不同图中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。

重新表述相干叶状图的有效方法是将$w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$写作：

$\varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },$

$\varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.$

$(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })$常写作$(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })$，其中

$x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),$

$y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).$

在$\varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$上，坐标公式可改写为

$g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).$

$U_{\alpha }$的每个斑都会遇到$U_{\beta }$的2个斑。

$(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })$是相干叶状结构这一条件意味着，若$P\subset U_{\alpha }$是斑，则$P\cap U_{\beta }$的连通分量位于$U_{\beta }$的（可能不同的）斑中。等价地，由于$U_{\alpha },\ U_{\beta }$的斑分别是横坐标$y_{\alpha },\ y_{\beta }$的水平集，$\forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$都有邻域，其中公式

$y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })$

与$x_{\beta }$无关。

叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，$(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })$的斑可以与多个$(U_{\beta },\ \varphi _{\beta })$的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。

若${\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}$是叶状$C^{r}$图册，则M上两具有相同余维和光滑度的$C^{r}$类叶状图册${\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}$是相干的：$\left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)$。叶状图册的相干是等价关系。

证明

自反关系和对称关系是直接的。要证传递关系，令${\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}$ and ${\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}$。令$(U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W_{\lambda },\ x_{\lambda },\ y_{\lambda })\in {\mathcal {W}}$，并假设有点$w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }$。择$(V_{\delta },\ x_{\delta },\ y_{\delta })\in {\mathcal {V}}$，使得$w\in V_{\delta }$。根据上述说明，w有属于$U_{\alpha }\cap V_{\delta }\cap W_{\lambda }$的邻域，使得 $y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),$ $y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),$ 由此 $y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).$ 由于$w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }$是任意的，可以总结$y_{\alpha }(x_{\lambda },\ y_{\lambda })$局部依赖于$x_{\lambda }$。于是可以证明${\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}$，因为相干是可传递的。

规则叶状图册中的图。

上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若$(U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )$都是叶状图，使得${\overline {U}}$（U的闭包）是W的子集，$\varphi =\psi |U$；则，若$\varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },$可知$\psi |{\overline {U}}$，写作${\overline {\varphi }}$，将${\overline {U}}$微分同胚地带到${\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.$

符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：

1. $\forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }$是叶状图$(W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })$的紧子集，且$\varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }$；
2. 覆盖$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$是局部有限的；
3. 若$(U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })$都是叶状图册的元素，则每个闭斑$P\subset {\overline {U}}_{\alpha }$的内部与最多与${\overline {U}}_{\beta }$中的1个斑相遇。

根据性质 (1)，坐标$x_{\alpha },\ y_{\alpha }$延伸到${\overline {U}}_{\alpha }$上的坐标${\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }$，可以写成${\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).$性质 (3)等价于要求：若$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$，横坐标变化${\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)$独立于${\overline {x}}_{\beta }.$即

${\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)$

有公式

${\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).$

类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射$y_{\alpha }$可视作浸没

$y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}$

公式$y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })$可视作微分同胚

$\gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).$

它们满足上循环条件，即，在$y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })$上，

$\gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }$

尤其是，

$\gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),$

$\gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.$

用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。

证明

固定M上的一个度量核一个叶状图册${\mathcal {W}}.$传递到子覆盖，如有必要，可假设${\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}$有限。令ε > 0是${\mathcal {W}}$的勒贝格数，即直径< ε的$\forall \subset X\subseteq M$都完全位于某个$W_{j}$中。$\forall x\in M$，择j使得$x\in W_{j}$、择叶状图$(U_{x},\ \varphi _{x})$使得 $x\in U_{x}\subseteq {\overline {U}}_{x}\subset W_{j},$ $\varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x},$ ${\rm {diam}}(U_{x})<\varepsilon /2.$ 设$U_{x}\subset W_{k}\ (k\neq j)$，并照常记$\psi _{k}=(x_{k},\ y_{k})\ (y_{k}:\ W_{k}\to \mathbb {R} ^{q})$是横坐标映射。这是浸没，以$W_{k}$中的斑为水平集。因此，$y_{k}$限制到浸没$y_{k}:\ U_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.$ 这在$x_{j}$中是局部为常的；因此，若有必要可以选择较小的$U_{x}$，假定$y_{k}|{\overline {U}}_{x}$以${\overline {U}}_{x}$的斑为水平集。即，$W_{k}$的斑最多与${\overline {U}}_{x}$的一个（紧）斑相遇（因此包含）。由于1 < k < l < ∞，可以择$U_{x}$，使得只要$U_{x}\subset W_{k}$，${\overline {U}}_{x}$的不同斑就位于$W_{k}$的不同斑中。传递到$\{(U_{x},\ \varphi _{x})|x\in M\}$的有限子图册${\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}$。若$U_{i}\cap U_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U_{i}\cup U_{j})<\varepsilon$，于是存在索引k使得${\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}$。${\overline {U}}_{i}$的不同斑（分别是${\overline {U}}_{j}$的不同斑）位于$W_{k}$的不同斑中。因此${\overline {U}}_{i}$的每个斑内部最多与${\overline {U}}_{j}$的一个斑相交，反之亦然。根据构造，${\mathcal {U}}$是${\mathcal {W}}$的相干细化，是规则叶状图册。 若M非紧，局部紧性和第二可数性允许我们选择紧子集序列$\left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }$，使得$\forall i\geq 0,\ M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i},\ K_{i}\subset {\rm {int}}K_{i+1}$。传递到子图集，假定${\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }$可数，且可找到严格递增正整数列$\left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }$使${\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}$是$K_{l}$的覆盖。令$\delta _{l}$表示$K_{l}$到$\partial K_{l+1}$的距离，并择$\varepsilon _{l}>0$，小到对于$l\geq 1,\ \varepsilon _{0}<\delta _{0}/2$，都有$\varepsilon _{l}<{\rm {min}}\{\delta _{l}/2,\ \varepsilon _{l-1}\}$（$\varepsilon _{l}$是${\mathcal {W}}_{l}$（作为$K_{l}$的开覆盖）与${\mathcal {W}}_{l+1}$（作为$K_{l+1}$的开覆盖）的勒贝格数）。更确切地说，若$X\subset M$与$L_{l}$相遇（或$K_{l+1}$），且${\rm {diam}}X<\varepsilon _{l}$，则X位于${\mathcal {W}}_{l}$的某个元素中（或${\mathcal {W}}_{l+1}$）。$\forall x\in K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}$，与紧情形一样构造$(U_{x},\ \varphi _{x})$，要求${\overline {U}}_{x}$是$W_{j}$的紧子集，且$\forall j\leq n_{l},\ \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x}$。同时，要求${\rm {diam}}{\overline {U}}_{x}<\varepsilon _{l}/2$。和之前一样，传递到$K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}$的有限子覆盖$\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}$（此处取$n_{-1}=0$。）这样就创造了规则叶状图册${\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$，细化了${\mathcal {W}}$并与${\mathcal {W}}$相干。

叶状结构的定义

根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到

通过坐标函数$x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}$分解

定义 n维流形M的p-维$C^{r}$类叶状结构是将M分解为不交连通子流形$\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：M的点都有邻域U和局部$C^{r}$类坐标系$x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}$，使得对每片叶$L_{\alpha }$，$U\cap L_{\alpha }$的组分都由方程组$x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}$描述。则，叶状结构记作${\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$

叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，n维流形M的p维叶状结构${\mathcal {F}}$也许可简单视作M的逐对不交、连通浸没的p维子流形（叶状结构的叶）的集合$\{M_{a}\}$，使得对点$\forall x\in M$，都有图$(U,\varphi )$，其中U同胚于$\mathbb {R} ^{n}$，包含的x使得对每片叶$M_{a}$，与U相遇或为空集或为子空间的可数集，其在$\varphi (M_{a}\cap U)$中$\varphi$的像下是前n-p个坐标为常数的p维仿射子空间。

叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义

定义 令M、Q是n维流形，q≤n，并令$f:\ M\to Q$是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为q，则据隐函数定理，ƒ在M上诱导了余维为q的叶状结构，其中的叶定义为$x\in Q,\ f^{-1}(x).$

这定义描述了n维流形M的p维叶状结构${\mathcal {F}}$，是由图（chart）$U_{i}$与下列映射覆盖的：

$\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$

这样，对重叠对$U_{i},\ U_{j}$，转移函数$\varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$定义为

$\varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}$

形式为

$\varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))$

其中x表示前$q=n-p$个坐标，y表示后p个坐标（co-ordinates），即

${\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}$

将转移函数$\varphi _{ij}$拆分为$\varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)$，作为浸没的一部分完全类似于将${\overline {g}}_{\alpha \beta }$拆分为${\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)$，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为q的规则叶状图册都与唯一的余维度为q的叶状结构${\mathcal {F}}$相关联。

证明

令${\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$是余维为q的规则叶状图册。在M上定义等价关系：x ~ y，当且仅当$\exists {\mathcal {U}}$-斑$P_{0}$使得$x,\ y\in P_{0}$，或有${\mathcal {U}}$-斑的序列$L=\{P_{0},\ P_{1},\ \dots ,\ P_{p}\}$使得$x\in P_{0},\ y\in P_{p},\ P_{i}\cap P_{i-1}\neq \varnothing \ (1\leq i\leq p)$成立。称序列L为连接x、y的长p的斑链。$x,\ y\in P_{0}$时，可以说$\{P_{0}\}$是连接x、y的长度为0的斑链。~是等价关系，这很清楚；同样明显的是，等价类L都是斑的并。由于${\mathcal {U}}$-斑只能在彼此的开子集中相互重叠，所以L在局部是维度为n-q的拓扑浸入（immerse）子流形。斑$P\subset L$的开子集在L上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基，L在这拓扑中显然是连通的。要检验L是否为豪斯多夫空间也是平凡的，主要问题是要证明L第二可数。由于斑都是第二可数的，所以对L只需证L中${\mathcal {U}}$-斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑$P_{0}$，根据规则叶状图册的定义，其只与有限多个其他斑相遇。即，只有有限多长1的斑链$\{P_{0},\ P_{i}\}$。归纳始于$P_{0}$的p长斑链，同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义，L中所有${\mathcal {U}}$-斑都可通过始于$P_{0}$的有限斑链抵达，因此可得上述论断。

正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ p的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫p维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若${\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}$是M上的叶状图册、且若${\mathcal {U}}$与叶状结构${\mathcal {F}}$相关联，则当且仅当${\mathcal {V}}$也与${\mathcal {F}}$相关联时，${\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}$相干。

证明

若${\mathcal {V}}$也与${\mathcal {F}}$相关联，则每片叶L都是${\mathcal {V}}$-斑与${\mathcal {U}}$-斑的并。这些斑在L的流形拓扑中是开子集，因此交于彼此的开子集。由于斑是连通的，所以不在同一片叶的${\mathcal {U}}$-斑不能交${\mathcal {V}}$-斑；因此叶状图册是相干的。反之，若只知道${\mathcal {U}}$与${\mathcal {F}}$相关联、${\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}$，令Q是${\mathcal {V}}$-斑。若L是${\mathcal {F}}$的叶，且$w\in L\cap Q\ (w\in P)$，令$P\in L$是${\mathcal {U}}$-斑，则$P\cap Q$是w在Q中的开邻域，且$P\cap Q\subset L\cap Q$。由于$w\in L\cap Q$是任意的，可知$L\cap Q$是开的；由于L也是任意的叶，所以Q可分解为不交的开子集，每个都是Q与${\mathcal {F}}$中某叶的交。又由于Q连通，$L\cap Q=Q.$最后，Q也是任意的${\mathcal {V}}$-斑，所以${\mathcal {V}}$与${\mathcal {F}}$相关联。

现在很明显，M上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，M上余维为q的$C^{r}$类叶状结构${\mathcal {F}}$是余维为q的$C^{r}$类叶状图册的相干类。据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是，

定义 M上余维为q的$C^{r}$类叶状结构是M上余维为q的最大叶状$C^{r}$-图册。

实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。

在图$U_{i}$中，条纹$x={\text{常数}}$与别的图$U_{j}$上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的叶（leaf）。 若缩小图$U_{i}$，可以写成$U_{ix}\times U_{iy}$，其中$U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy$与斑同构，$U_{ix}$的点参数化了$U_{i}$中的斑。若择$y_{0}\in U_{iy}$，则$U_{ix}\times \{y_{0}\}$是$U_{i}$的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。

r = 0的情形比较特殊。实践中出现的$C^{0}$叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的$C^{r,\ 0}$类：

定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册$\{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$，使得坐标变换式

$g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).$

属于$C^{k}$类，但$x_{\alpha }$在坐标$x_{\beta }$中是$C^{r}$类，其阶数≤ r、与$x_{\beta }$的混合偏导数在坐标$(x_{\beta },\ y_{\beta }$中是$C^{k}$类，则称叶状结构${\mathcal {F}}$属于$C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)$类。

上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为$\mathbb {R} ^{q}$的相对紧开子集，允许横坐标$y_{\alpha }$在更一般的拓扑空间Z中取值。斑仍是$\mathbb {R} ^{q}$的相对紧开子集，横坐标公式$y_{\alpha }(y_{\beta })$的变化是连续的，$x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })$在坐标$x_{\beta }$中属于$C^{r}$类，其阶数 ≤ r 、与$x_{\beta }$的混合偏导数在坐标$(x_{\beta },\ y_{\beta })$中连续。一般要求M、Z为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。

完整性

令$(M,\ {\mathcal {F}})$是叶状流形（foliated manifold）。设L是${\mathcal {F}}$的叶，s是L中的路径，我们感兴趣的是M中s的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径s行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作s(t)）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近L；还有些可能会以接近平行的方式跟随L，或垂直地打转之类。若s是环路，则随着t增大，s(t)会反复回到同一个点s(t₀)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。

完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

叶状丛

最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。

横截面（cross section）N与第一回归映射（first return map）f，其中$M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.$

“第一回归映射”来自动力系统理论。令$\Phi _{t}$是紧n-流形上的非奇异$C^{r}\ (r\geq 1)$流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构${\mathcal {F}}$。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）${\mathcal {F}}$有向。假设流有全局横截面N，即N是M的n-1维紧正合嵌入的$C^{r}$子流形，叶状结构${\mathcal {F}}$垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是

$T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.$

令$y\in N$，考虑M中所有序列$\left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }$的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中$t_{k}$为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若$z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),$则有值$t^{*}\in \mathbb {R}$使得$\Phi _{t^{*}}(z)\in N$，由此可得

$\lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.$

由于N是紧的，${\mathcal {F}}$横截于N，因此集合$\{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}$是单调递增序列$\{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }$，并发散。

当$y\in N$变化，令$\tau (y)=\tau _{1}(y)$，这样定义一个正函数$\tau \in C^{r}(N)$（第一回归时间），使得$\forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.$

定义$f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).$这是$C^{r}$映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的$f^{-1}$；所以$f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)$。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但f显然只取决于有向叶状结构${\mathcal {F}}$。可以将流$\Phi _{t}$重参数化，使其保持非奇异、是$C^{r}$类，且方向不翻转，从而使$\tau \equiv 1.$

流有横截面N的假设是很受限的，意味着M是$S^{1}$上纤维丛的总空间。事实上在$\mathbb {R} \times N$上，可将$\sim _{f}$定义为以下条件生成的等价关系：

$(t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).$

等价地，这是加法群Z在$\mathbb {R} \times N$上的作用的轨等价，定义如下

$\forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).$

f的映射圆柱定义为$C^{r}$流形

$M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.$

由第一回归映射f的定义与第一回归时间$\tau \equiv 1$的假设，可立即得出映射

$\Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.$

流的定义可诱导一个规范$C^{r}$微分同胚

$\varphi :M_{f}\rightarrow M.$

若记$M_{f}=M$，则$\mathbb {R} \times N$到R的投影诱导了$C^{r}$映射

$\pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}$

使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是$S^{1}\times D^{2}$到$S^{1}$的投影。叶状结构${\mathcal {F}}$横截于这丛的纤维，限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射$\pi :\ L\to S^{1}$，这就是叶状丛（foliated bundle）。

以$x_{0}\in S^{1}$的等价类$0+\mathbb {Z}$为基点，$\pi ^{-1}(x_{0})$就是原横截面N。对$S^{1}$上以$x_{0}$为基点的每个环路s，同伦类$[s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})$的唯一特征是${\rm {deg}}s\in \mathbb {Z}$。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升$s_{y}$始于$y\in N$、终于$f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)$。微分同胚$f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)$也用$h_{s}$表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于[s]，因此定义了同胚

$h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),$

称作叶状丛的总整体同胚。

更直观地运用纤维丛，令$(M,\ {\mathcal {F}})$是余维为q的叶状n-流形，令$\pi :\ M\to B$是纤维丛，具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于$C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )$类，若r = 0，B支持一个$C^{1}$结构。由于B上的最大$C^{1}$图册都包含$C^{\infty }$子图册，因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后，$\forall x\in B$，假设x有连通开邻域$U\subseteq B$，和局部平凡化

${\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}$

其中φ是$C^{r}$微分同胚（若r = 0则是同胚），将${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$带到积叶状结构$\{U\times \{y\}\}_{y\in F}$。其中，${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$是叶为$L\cap \pi ^{-1}(U)$的连通组分的叶状结构，L是${\mathcal {F}}$的叶。这是$C^{r}$类“叶状丛”（foliated bundle）$(M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )$的一般定义。

${\mathcal {F}}$垂直于π的纤维（可以说${\mathcal {F}}$是垂直于纤维的），π到${\mathcal {F}}$的每片叶L的限制是覆盖映射$\pi :\ L\to B$。特别是，每条纤维$F_{x}=\pi ^{-1}(x)$都与${\mathcal {F}}$的每片叶相遇。纤维是${\mathcal {F}}$的横截，与流的横截完全类似。

叶状结构${\mathcal {F}}$横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是$\mathbb {R} ^{2}$的一个叶状结构横截于纤维

$\pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,$

$\pi (x,y)=x,$

但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数$x\in B$接近某个$x_{0}\in B$，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶L，和一条连续路径$s:\ [0,\ a)\to L$使得$\lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B$，但$\lim _{t\to a-}s(t)$在L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与$\pi ^{-1}(x_{0})$相遇，但不能均匀覆盖$x_{0}$的邻域，因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时，${\mathcal {F}}$对纤维的横截性确实保证了完备性，于是${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$是叶状丛。

B上有图册${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$，包含开连通坐标图，以及平凡化$\varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F$，将${\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })$带到积叶状结构。置$W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })$，并记$\varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })$，其中（滥用符号）$x_{\alpha }$表示$x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F$是将$\varphi _{\alpha }$与规范投影$U_{\alpha }\times F\to F$组合而得的浸没。

图册${\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$的作用类似叶状图册。$W_{\alpha }$的斑是$y_{\alpha }$的水平集，这一族斑通过$y_{\alpha }$，与F相同。由于预设了B支持某个$C^{\infty }$结构，据怀特黑德定理，可在B上固定一个黎曼度量，择图册${\mathcal {U}}$为测地凸的。于是，$U_{\alpha }\cap U_{\beta }$总是连通的。若这个交非空，则$W_{\alpha }$的每个斑都正好与$W_{\beta }$的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle）$\gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}$ by setting

$\gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.$

例子

平坦空间

考虑n维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是$\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n-p}\times \mathbb {R} ^{p}$，叶或斑$\mathbb {R} ^{p}$由$\mathbb {R} ^{n-p}$枚举。置n = 3、p = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。

丛

较平凡的叶状结构例子是积$M=B\times F$，叶$F_{b}=\{b\}\times F,\ b\in B$（M的另一个叶状结构由$B_{f}=B\times \{f\},\ f\in F$给出）。

对流形F而言，$G={\rm {Homeo}}(F)$的平坦G-丛是更一般的一类。给定表示$\rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)$，具有单值ρ的平坦${\rm {Homeo}}(F)$-丛由$M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B$给出，其中$\pi _{1}(B)$通过甲板变换作用于万有覆盖${\widetilde {B}}$，通过表示ρ作用于F。

平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形F使得$\forall b\in B$，都有开邻域U使得有同胚$\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi =p_{1}\varphi ,\ p_{1}:\ U\times F\to U)$（其中p₁是到第一个因子的投影），则流形之间的映射$\pi :\ M\to B$是纤维丛。纤维丛产生了由纤维$F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B$组成的叶状结构，其叶空间L与B同构，前者是豪斯多夫流形。

覆盖

若$M\to N$是流形间的覆盖映射，F是N上的叶状结构，则其拉回到M上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。

浸没

若$M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)$是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了M的余维为q的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。

不是纤维丛的浸没的一个例子是

${\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}$

这种浸没产生了$[-1,\ 1]\times \mathbb {R}$的叶状结构，在下列$\mathbb {Z}$作用下是不变的：

$z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)$

其中$(x,\ y)\in [-1,\ 1]\times \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z}$。$\mathbb {Z} \backslash ([-1,\ 1]\times \mathbb {R} )$的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。

里布叶状结构

定义一个潜没

${\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}$

其中$(r,\ \theta )\in [0,\ 1]\times S^{n-1}$是n维圆盘$D^{n}$上的圆柱坐标。这浸没产生了$D^{n}\times \mathbb {R}$的叶状结构，在如下Z作用下是不变的：

$z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )$

$\mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )$的诱导叶状结构被称作n维里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。

对于n = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球$S^{2n+1}$的叶状结构也是明确已知的。

李群

若G是李群、H是李子群，则G就会被H的陪集叶化。若H在G中闭合，则商空间$G/H$是光滑（豪斯多夫）流形，将G转化为纤维丛，纤维H、基为$G/H$。这个纤维丛实际上是主的，具有结构群H。

李群作用

令G是光滑作用于流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则G的轨道定义了M的一个叶状结构。

线性叶状结构与克罗内克叶状结构

若${\tilde {X}}$是非奇异（即无处为零）的向量场，则${\tilde {X}}$定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点$x\in M$，由于${\tilde {X}}$是非奇异的，所以可找到一个关于x的坐标邻域$(U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})$，使得

$-\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,$

${\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.$

从几何角度来看，${\tilde {X}}\mid U$的流线就是水平集

$x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,$

其中所有的$|c^{i}|<\varepsilon .$由惯例，流形是第二可数的，因此类似“长线”这样的叶异常现象会被M本身的第二可数性排除。要求${\tilde {X}}$是完全域（例如M是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。

$\mathbb {R} ^{2}$上的线性叶状结构${\mathcal {\tilde {F}}}$传递到$T^{2}$上的叶状结构${\mathcal {F}}$。 a) 斜率是有理的（线性叶状结构）； b) 斜率是无理的（克罗内克叶状结构）。

2-环面上的无理旋转

环面$T^{2}$上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。$\mathbb {R} ^{2}$上的恒向量场

${\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$

对$\mathbb {R} ^{2}$中所有平移都不变，因此当投影到环面$T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$时传递到良定义向量场X。假定a ≠ 0。${\tilde {X}}$产生的$\mathbb {R} ^{2}$上的叶状结构${\mathcal {\tilde {F}}}$的叶具有斜率为$\theta =b/a$的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到X产生的$T^{2}$上的叶状结构${\mathcal {F}}$。

${\mathcal {\tilde {F}}}$每片叶的形式是

${\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.$

若斜率是有理的，则所有叶都是与圆同胚的闭合曲线。这时，可取$a,\ b\in \mathbb {Z}$。对固定的$t\in \mathbb {R}$，${\tilde {L}}$中与$t\in t_{0}+\mathbb {Z}$的值对应的点都投影到$T^{2}$的同一点，于是${\mathcal {F}}$对应的叶L是$T^{2}$中的嵌入圆。由于L是任意的，所以${\mathcal {F}}$是$T^{2}$对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛$\pi :\ T^{2}\to S^{1}$，这就是所谓线性叶状结构。

若斜率是无理的，则叶是非紧的，同胚于非紧实线，在环面中稠密（参无理旋转）。每个点$(x_{0},\ y_{0})$的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生“处处稠密”的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于利奥波德·克罗内克与

克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合$\{e^{in\theta }|n\in \mathbb {Z} \}$在单位圆内稠密。

证明

首先注意，若${\mathcal {\tilde {F}}}$的叶${\tilde {L}}$不是一一投影到$T^{2}$，则一定有实数$t\neq 0$使得ta、tb都是整数。但这意味着$b/a\in \mathbb {Q}$。要证${\mathcal {F}}$的叶L在$T^{2}$中都稠密，只需证明$\forall v\in \mathbb {R} ^{2}$，${\mathcal {\tilde {F}}}$的每片叶${\tilde {L}}$与陪集$v+\mathbb {Z} ^{2}$中的适当点间距都是任意小的正距离。$\mathbb {R} ^{2}$中的适当平移使我们可以假设v = 0，这样任务就简化为证明${\tilde {L}}$任意地经过合适的点$(n,\ m)\in \mathbb {Z} ^{2}$。线${\tilde {L}}$具有斜截式 $y=\theta x+c.$ 因此，对于任意$\eta >0$，只要找到整数n、m使得 $|\theta n+c-m|<\eta .$ 等价地，$c\in \mathbb {R}$是任意的，就可以证明集合$\{\theta n-m\}_{m,\ n\in \mathbb {Z} }$在R中稠密。这实质上就是欧多克索斯关于θ与1不可通约（即θ无理）的标准。

用平行线对$\mathbb {R} ^{n}$进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的n-环面$\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$的1维叶状结构。

纬悬叶状结构

平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为

$L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,$

其中$p:\ {\widetilde {B}}\times F\to M$是规范投影。这个叶状结构称作表示$\rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)$的纬悬。

具体地说，若$B=S^{1}$，$\varphi :F\to F$是F的同胚，则$\varphi$的纬悬叶状结构定义为表示$\rho :\ \mathbb {Z} \to {\rm {Homeo}}(F)$的纬悬叶状结构，由$\rho (z)=\Phi ^{z}$给出。其叶空间是$L={\mathcal {F}}/\sim$，其中只要对某个$n\in \mathbb {Z} ,\ y=\Phi ^{n}(x),\ x\sim y$。

纬悬叶状结构最简单的例子是q维流形X。令$f:\ X\to X$是双射。将纬悬$M=S^{1}\times _{f}X$定义为$[0,\ 1]\times X$对等价关系$(1,\ x)\sim (0,\ f(x))$的商。

$M=S^{1}\times _{f}X=[0,\ 1]\times X$

则，M自动携带两个叶状结构：${\mathcal {F}}_{2}$包含$F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim }:\ x\in X\}$形式的集合；${\mathcal {F}}_{1}$包含$F_{2,\ x_{0}}=\{(t,\ x):\ t\in [0,\ 1],\ x\in O_{x_{0}}\}$形式的集合，其中轨道$O_{x_{0}}$定义为

$O_{x_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}$

其中指数指的是函数f与自身复合的次数。注意$O_{x_{0}}=O_{f(x_{0})}=O_{f^{-2}(x_{0})},\ {\rm {etc.}}$，对$F_{1,\ x_{0}}$也同样。理解叶状结构${\mathcal {F}}_{1}$等效于理解映射f的动力学。若流形X已经叶化，则只要f是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转$R_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}$（角度为$\alpha \in [0,\ 2\pi )$）的纬悬叶状结构。

切割重粘后，2-洞环面的纬悬。 a) 带待切割截面的双洞环面； b) 切割后带有4个面的几何图形。

更具体地说，若$\Sigma =\Sigma _{2}$是2洞环面，$C^{1},\ C^{2}\in \Sigma$是两个嵌入圆，则${\mathcal {F}}$是叶$\Sigma \times \{y\},\ y\in S^{1}$的3-流形的积叶状结构$M=\Sigma \times S^{1}$。注意$N_{i}=C_{i}\times S^{1}$是嵌入环，${\mathcal {F}}$横截于$N_{i},\ i=1,\ 2$。令${\rm {Diff}}_{+}(S^{1})$表示$S^{1}$的保向微分同胚群，并择$f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})$。将M沿$N_{1},\ N_{2}$切开，$N_{i}^{+},\ N_{i}^{-}$表示它们的副本。这时，流形$M'=\Sigma '\times S_{1}$有4个边界分量$\left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.$叶状结构${\mathcal {F}}$横截边界$\partial M'$的叶状结构${\mathcal {F^{\prime }}}$，叶的形式为$\Sigma '\times \{y\},\ y\in S^{1}$。

这片叶在4个圆$C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }$中与$\partial M'$相遇。若$z\in C_{i}$，则$C_{i}^{\pm }$中的对应点记作$z^{\pm }$，$N_{i}^{-}$通过下列标识，“回到”$N_{i}^{+}$：

$(z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.$

由于$f_{1},\ f_{2}$是$S^{1}$的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于M。${\mathcal {F^{\prime }}}$的叶则重新组合，产生M新的叶状结构${\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})$。若${\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})$的叶L 包含一片$\Sigma '\times \{y_{0}\}$，则

$L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},$

其中$G\subset {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})$是由$\{f_{1},\ f_{2}\}$生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：

$\forall z\in C_{1},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{1}(g(y_{0})))$

$\forall z\in C_{2},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{2}(g(y_{0})))$

其中g在G上取值。叶完全由$y_{0}\in S^{1}$的G-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若G是平凡的$(f_{1}=f_{2}={\rm {id}}_{S^{1}})$，则${\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})={\mathcal {F}}$。若轨道在$S^{1}$中是稠密的，则对应的叶在M中也稠密。例如，若$f_{1},\ f_{2}$是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶L的闭包${\bar {L}}$与每个因子$\{w\}\times S^{1}$在康托尔集中相遇。在$\Sigma \times I$上也可做类似构造，其中I是紧非退化区间。这里，取$f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(I)$，由于$\partial I$通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以$\partial M$的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M' ，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

叶状结构与可积性

假设一切都光滑，那么向量场之间有一种密切关系：给定M上不为零的向量场X，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为n-1的叶状结构）。

这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的n − p维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从${\rm {GL}}(n)$约化为可约群。

弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）$\alpha \in \Omega ^{1}$（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为${\rm {ker}}(\alpha )$。若处处都有$\alpha \wedge {\rm {d}}\alpha =0$，则给定的α可积。

由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。

叶状结构的存在

Haefliger (1970)给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。Thurston （1974, 1976）证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

参看

• 弗罗贝尼乌斯定理
• G结构
• 用叶状结构分类空间
• 里布叶状结构
• 紧叶状结构(Taut foliation)

参考文献

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• Thurston, William P., Existence of codimension-one foliations, Annals of Mathematics, Second Series, 1976, 104 (2): 249–268, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971047, MR 0425985, doi:10.2307/1971047 

外部链接

• Foliations at the Manifold Atlas