圆内接四边形

在几何中，圆内接四边形（英文：Cyclic quadrilateral）是四边形的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。

四種圆内接四边形的例子（四点共圆）

性质

在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。一個四邊形為圓內接四邊形的充分必要條件是其相对的两内角互补，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

如图，ABCD为圆内接四边形，托勒密定理指出：${\begin{matrix}BD\cdot AC\\=AB\cdot CD+BC\cdot DA.\end{matrix}}$

托勒密定理指出，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积（如右图）。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形。

凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是相似的。如右图中，$P$是圆内接四边形$ABCD$的两对角线交点，则$\bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCP$，$\bigtriangleup BCP\sim \bigtriangleup ADP$。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的$P$），那么其中一条对角线被点$P$所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点$P$所分成的两段的长度之乘积：$AP\times CP=BP\times DP$。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点$P$，且$\bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCP$（或$\bigtriangleup BCP\sim \bigtriangleup ADP$，或$AP\times CP=BP\times DP$），那么四边形$ABCD$是圆内接四边形。

在四边形中，矩形、正方形都是圆内接四边形；鳶形和梯形可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形，那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形，那么它是一个等腰梯形。如果一个鳶形是圆内接四边形，那么它至少有一对对角是直角。

面积

在已知四边的边长时，圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出。若圆内接四边形的四边边长分别是$a$, $b$, $c$, $d$，则其面积为：

${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

其中$p$為半周长：

$p={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

可以证明，在所有周长为定值$2p$的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。

参见

• 圆内接多边形
• 婆羅摩笈多公式
• 婆羅摩笈多定理：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
• 外接圆

外部链接

• （英文）体验圆内接四边形（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）关于圆内接四边形的一个定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）