對數平均溫差 （logarithmic mean temperature difference）簡稱為LMTD ，是在传热 流體系統（例如熱交換器 中）用來分析溫度推動力的工具。對數平均溫差是在雙管換熱器中冷端及熱端溫度 差的對數平均 。對數平均溫差越大，表示传热量越大。在分析固定流速及流體熱力學性質的熱交換器時，就會出現對數平均溫差。
先假設有一個泛用的熱交換器，其二端（稱為A及B）分別有熱蒸氣及冷蒸氣進出，對數平均溫差定義為以下的對數平均：
L
M
T
D
=
Δ
T
A
−
Δ
T
B
ln
(
Δ
T
A
Δ
T
B
)
=
Δ
T
A
−
Δ
T
B
ln
Δ
T
A
−
ln
Δ
T
B
{\displaystyle LMTD={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}}
其中
ΔTA 是熱蒸氣及冷蒸氣在A端的溫度差。ΔTB 是熱蒸氣及冷蒸氣在B端的溫度差。依此定義，LMTD可以用來推算熱交換器所傳遞的熱
Q
=
U
×
A
r
×
L
M
T
D
{\displaystyle Q=U\times Ar\times LMTD}
其中
Q 是傳遞的熱（單位 J ）U 為传热系数 （單位 J/ K m2 ）Ar 為熱交換面積不過传热系数的估算可能相當的複雜。
熱交換器的並流（Concurrent）及逆流（countercurrent） 若熱交換器是並流（熱蒸氣及冷蒸氣平行，都從某一側進，從另一側出）或是逆流 （熱蒸氣及冷蒸氣平行，但各由一側進，從另一側出），以上的式子都會成立。
若是交叉流（cross-flow）熱交換器，也就是熱交換器中有散熱片 ，上面的溫度接近定值，其熱交換量和LMTD也會有類似的關係，不過會出現修正係數。若是結構比較複雜的熱交換器（例如殼管式熱交換器
假設熱傳導是在沿著z 軸上，從A 點到B 點的熱交換器上進行，熱傳導是在二種流體之間交換能量，分別標示為1 和2 ，沿著z 軸的熱量分別是T1 (z)和 T2 (z)。
沿著z 上的局部交換熱通量和其溫度差成正比：
q
(
z
)
=
U
(
T
2
(
z
)
−
T
1
(
z
)
)
/
D
=
U
(
Δ
T
(
z
)
)
/
D
{\displaystyle q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))/D=U(\Delta \;T(z))/D}
其中D 為二流體之間的距離。
流體釋放的熱會依傅立葉定律 產生溫度梯度：
d
T
1
d
z
=
k
a
(
T
1
(
z
)
−
T
2
(
z
)
)
=
−
k
a
Δ
T
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)}
d
T
2
d
z
=
k
b
(
T
2
(
z
)
−
T
1
(
z
)
)
=
k
b
Δ
T
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)}
相減後，可得
d
Δ
T
d
z
=
d
(
T
2
−
T
1
)
d
z
=
d
T
2
d
z
−
d
T
1
d
z
=
K
Δ
T
(
z
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,\Delta T}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,(T_{2}-T_{1})}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}-{\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=K\Delta T(z)}
where K=ka +kb .
交換的總能量可以由A 點到B 點的局部熱交換量q 積分而得：
Q
=
∫
A
B
q
(
z
)
d
z
=
U
D
∫
A
B
Δ
T
(
z
)
d
z
=
U
D
∫
A
B
Δ
T
d
z
{\displaystyle Q=\int _{A}^{B}q(z)dz={\frac {U}{D}}\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz={\frac {U}{D}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}
熱交換面積Ar 為管長A -B 乘以二管間的距離D ：
Q
=
U
A
r
(
B
−
A
)
∫
A
B
Δ
T
d
z
=
U
A
r
∫
A
B
Δ
T
d
z
∫
A
B
d
z
{\displaystyle Q={\frac {UAr}{(B-A)}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\int _{A}^{B}\,dz}}}
二個積分都作變數變換，積分變數由z 改為Δ T ：
Q
=
U
A
r
∫
Δ
T
(
A
)
Δ
T
(
B
)
Δ
T
d
z
d
Δ
T
d
(
Δ
T
)
∫
Δ
T
(
A
)
Δ
T
(
B
)
d
z
d
Δ
T
d
(
Δ
T
)
{\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}
配合上述Δ T 的關係，可得：
Q
=
U
A
r
∫
Δ
T
(
A
)
Δ
T
(
B
)
1
K
d
(
Δ
T
)
∫
Δ
T
(
A
)
Δ
T
(
B
)
1
K
Δ
T
d
(
Δ
T
)
{\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}
積分的結果如下：
Q
=
U
×
A
r
×
Δ
T
(
B
)
−
Δ
T
(
A
)
ln
[
Δ
T
(
B
)
/
Δ
T
(
A
)
]
{\displaystyle Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln[\Delta T(B)/\Delta T(A)]}}}
也就是對數平均溫差的定義。
假設及限制
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假設二流體溫度的變化率和其溫差成正比，這對固定比熱 的流體有效，流體的溫度變化若在一個較小的範圍，此假設成立，不過若比熱有變化，用計算對數平均溫差計算的熱交換量就不準了。
LMTD不適用在冷凝器 及再沸器 潛熱 ，因此假設無效。
假設熱傳係數U 為定值，和溫度無關，若熱傳係數和溫度有關，計算的準確度也會下降。
LMTD是一個穩態的概念，不適用在暫態的分析。特別若LMTD應用在暫態中，其時間較短，熱交換器的二邊溫度梯度的符號相反，對數的引數會出現負值，這也是不允許的。
相關條目
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參考資料
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![{\displaystyle Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln[\Delta T(B)/\Delta T(A)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b74c401a572ffe680338667f44bffa550de7400)