巴都萬數列

巴都萬數列（Padovan Sequence）是一個整數數列，其起始數值跟遞歸關係定義為：

以巴都萬數為邊長的等邊三角形組成的螺旋

$P(0)=P(1)=P(2)=1$

$P(n)=P(n-2)+P(n-3)$

P(n) 的前几个值是：

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... （OEIS數列A000931）

此數列以建築師理察·巴都萬命名，理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

遞歸關係

• $P_{n}=P_{n-1}+P_{n-5}$（此關係可從圖中見得）
• $P_{n}=P_{n-2}+P_{n-4}+P_{n-8}$
• $P_{n}=P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5}$
• $P_{n}=P_{n-4}+P_{n-5}+P_{n-6}+P_{n-7}+P_{n-8}$

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義： $Perrin_{n}=P_{n+1}+P_{n-10}$

反巴都萬數列

使用遞歸關係$P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}$可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都萬數列卻不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和

首$n$項（包括第0項）之和比$P_{n+5}$少2：

$\sum _{m=0}^{n}P_{m}=P_{n+5}-2.$

下面是每隔數項的和：

$\sum _{m=0}^{n}P_{2m}=P_{2n+3}-1$

$\sum _{m=0}^{n}P_{2m+1}=P_{2n+4}-1$

$\sum _{m=0}^{n}P_{3m}=P_{3n+2}$

$\sum _{m=0}^{n}P_{3m+1}=P_{3n+3}-1$

$\sum _{m=0}^{n}P_{3m+2}=P_{3n+4}-1$

$\sum _{m=0}^{n}P_{5m}=P_{5n+1}.$

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關：

$\sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}=P_{n+2}^{2}-P_{n-1}^{2}-P_{n-3}^{2}$

$\sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}$

$\sum _{m=0}^{n}P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.$

其他恆等式

$P_{n}^{2}-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.$

巴都萬數列跟二項式係數之和有關：

$\sum _{2m+n=k}{m \choose n}=P_{k-2}.$

估計值

$x^{3}-x-1=0$有三個根：唯一的實數根$p$（即銀數）和兩個複數根$q$和$r$。

$P_{n}={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}+{\frac {q^{n}}{\left(3q^{2}-1\right)}}+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right)}}.$

因為$q$和$r$的絕對值都少於1，當$n$趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的$n$，可以以下面的公式估計：

$P_{n}\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}={\frac {p^{n}}{4.264632...}}.$

從上面的公式亦知${\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}$的值趨近銀數。

整數分拆上的定義

$P_{n}$可以用不同的整數分拆來定義。

• $P_{n}$是將$n+2$寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如$P_{6}=4$，有4種方法將8寫成這類和式：

2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

• $P_{2n-2}$是將$n$寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如$P_{5\times 2-2}=P_{8}=7$，有7種方法將5寫成這類和式：

1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

• $P_{n}$是將$n$寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如$P_{9}=9$，有9種方法將9寫成這類和式：

9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

• 若上述情況改為$P_{8}=8$，則數列如下：

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

• $P_{n}$是將$n+4$寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如$P_{7}=5$，有5種方法將11寫成這類和式：

11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數

巴都萬數列的生成函數為

$G(P_{n};x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.$

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如：

$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {P_{n}}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.$

多項式

巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

$P_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=0\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=1\\x^{2},\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=2\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3\end{matrix}}\right.$

首七個巴都萬多項式為：

$P_{0}(x)=1\,$

$P_{1}(x)=x\,$

$P_{2}(x)=x^{2}\,$

$P_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$P_{4}(x)=x^{3}+x\,$

$P_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x\,$

$P_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1\,$

$P_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x\,$

第$n$個巴都萬數即$P_{n}(1)$。

其他特質

• 奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
• 數列中的質數：$P_{3,4}=2;P_{5}=3;P_{7}=5;P_{8}=7;P_{14}=37;P_{19}=151;P_{30}=3329;P_{37}=23833;...$（OEIS:A000931）
• 數列中的平方數：$P_{0,1,2}=1;P_{6}=2^{2};P_{9}=3^{2};P_{11}=4^{2};P_{15}=7^{2}$

外部連結

• Padovan Sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）（MathWorld）
• Tales of a Neglected Number，艾恩·史都華在雜誌發表的文章
• 學生科技網--中學生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯
• Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Richard Padovan