在线性代数 中，希尔伯特矩阵 是一种系数 都是單位分數 的方块矩阵 。具体来说一个希尔伯特矩阵H 的第i 横行第j 纵列的系数是：
H
i
j
=
1
i
+
j
−
1
.
{\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}
举例来说，
5
×
5
{\displaystyle 5\times 5}
H
5
=
[
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
]
.
{\displaystyle H_{5}={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}
积分 ：
H
i
j
=
∫
0
1
x
i
+
j
−
2
d
x
,
{\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}
也就是当向量 是关于变量x 的各阶幂 时关于积分范数
L
1
{\displaystyle \mathbb {L} ^{1}}
格拉姆矩阵 。
希尔伯特矩阵是低条件矩阵 的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说，当范数为
l
2
{\displaystyle l^{2}}
矩阵范数 时希尔伯特矩阵的条件数 大约是
4.8
×
10
5
{\displaystyle 4.8\times 10^{5}}
希尔伯特矩阵是对称 而正定 的矩阵。希尔伯特矩阵也是全正定矩阵，也就是说它的每个子矩阵 的行列式都是正数。
希尔伯特矩阵是汉克尔矩阵 的一种。
希尔伯特矩阵的行列式可以被表达为闭形式 ，算是柯西行列式 的一种。一个
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
行列式 可以表达为：
det
(
H
)
=
c
n
4
c
2
n
{\displaystyle \det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}}}
其中
c
n
=
∏
i
=
1
n
−
1
i
n
−
i
=
∏
i
=
1
n
−
1
i
!
{\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!}
希尔伯特在其著作中已经注意到希尔伯特矩阵的行列式也是一个单位分数 ，并且有明确的表达式：
1
det
(
H
)
=
c
2
n
c
n
4
=
n
!
⋅
∏
i
=
1
2
n
−
1
(
i
[
i
/
2
]
)
{\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}}
用关于阶乘 的斯特灵公式 ，我们可以得到以下近似的结果：
det
(
H
)
=
a
n
n
−
1
/
4
(
2
π
)
n
4
−
n
2
{\displaystyle \det(H)=a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}}
其中当
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
a n
e
1
/
4
2
1
/
12
A
−
3
≈
0.6450
{\displaystyle e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450}
A 是Glaisher-Kinkelin常数 ）。
用二项式系数，希尔伯特矩阵的逆矩阵 也可以表示为闭形式。一个
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
(
H
−
1
)
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
(
i
+
j
−
1
)
(
n
+
i
−
1
n
−
j
)
(
n
+
j
−
1
n
−
i
)
(
i
+
j
−
2
i
−
1
)
2
{\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}}
也就是说，希尔伯特矩阵的逆矩阵的系数都是整数。
当
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
O
(
(
1
+
2
)
4
n
/
n
)
{\displaystyle O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})}
参考来源
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David Hilbert, Collected papers , vol. II, article 21.
Beckermann, Bernhard. "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices" in Numerische Mathematik. 85 (4), 553--577, 2000.
Choi, M.-D. "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）" in American Mathematical Monthly . 90 , 301–312, 1983.
Todd, John. "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix" in National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39 , 109–116, 1954.
Wilf, H.S. Finite Sections of Some Classical Inequalities . Heidelberg: Springer, 1970. 
![{\displaystyle H_{5}={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ae835a2f043df86af5e1b62297c00a97b0537)
![{\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62188919f02b746d7c61ed6e15e56f2d6dd5f05e)
