在数学 中，循序可测 是随机过程 的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程 的可测性 。循序可测性比随机过程的适应性更加严格[1] :4-5 。循序可测过程在伊藤积分 理论中有重要应用。
设有
概率空间
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
测度空间
(
X
,
A
)
{\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}
σ-代数
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
参考族
{
F
t
|
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geqslant 0\}}
随机过程
X
:
T
=
[
0
,
∞
)
×
Ω
→
X
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X:T=[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
指标集
T
{\displaystyle T}
[
0
,
T
0
]
{\displaystyle [0,T_{0}]}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
则随机过程
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
当且仅当 对任意的时刻
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
映射
X
|
[
0
,
t
]
:
[
0
,
t
]
×
Ω
⟶
X
{\displaystyle X\left|_{[0,t]}:\,\,[0,t]\times \Omega \,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {X} \right.}
(
s
,
ω
)
↦
X
s
(
ω
)
{\displaystyle (s,\omega )\quad \mapsto \,\,X_{s}(\omega )}
都是
B
o
r
e
l
(
[
0
,
t
]
)
⊗
F
t
{\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}
[2] :110 。
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
适应过程 [1] :5 。
子集
P
⊆
[
0
,
∞
)
×
Ω
{\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }
指示过程 ：
X
s
(
ω
)
:=
1
P
(
s
,
ω
)
{\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}
是循序可测过程。所有循序可测的子集
P
{\displaystyle P}
[
0
,
∞
)
×
Ω
{\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }
P
r
o
g
{\displaystyle \mathrm {Prog} }
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
当且仅当 它（在被看作
[
0
,
∞
)
×
Ω
{\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }
P
r
o
g
{\displaystyle \mathrm {Prog} }
[3] :190 。
如果一个适应随机过程是左连续 或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续 的适应随机过程是循序可测过程[3] :191 。
设
W
=
(
W
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle W=\left(W_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
H
=
(
H
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle H=\left(H_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
W
{\displaystyle W}
{
F
t
W
}
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}
E
[
∫
T
H
(
t
)
2
d
t
]
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} [\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t]<\infty }
H
{\displaystyle H}
W
{\displaystyle W}
∫
T
H
(
t
)
d
W
t
{\displaystyle \int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}}
[2] :146-147 ，而且满足
E
[
(
∫
T
H
(
t
)
d
W
t
)
2
]
=
E
[
∫
T
H
(
t
)
2
d
t
]
.
{\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t\right].}
[3] :192 [2] :141 。
一个随机过程
X
=
(
X
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle X=\left(X_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
修正 （modification ）是指另一个随机过程
Y
=
(
Y
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle Y=\left(Y_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}
∀
t
∈
T
,
P
(
X
t
=
Y
t
)
=
1.
{\displaystyle \forall t\in T,\,\,\mathbb {P} (X_{t}=Y_{t})=1.}
[2] :110 。 参考来源
编辑
![{\displaystyle [0,T_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01d43506036829bdf63a3106f25b26e503d06a7)
![{\displaystyle X\left|_{[0,t]}:\,\,[0,t]\times \Omega \,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {X} \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad386904825852771f1c1370503d32f1ac87909)
![{\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fe3858e271e6fd86fbdb6a6281780354d0de8b)
![{\displaystyle \mathbb {E} [\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca8623a1a197cecc34793daefa13937721c9e27)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790cda510727424df9ee2f4f9f9d6ae751024d88)
