拉东-尼科迪姆定理

拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间$(X,\Sigma )$的时候，如果测度空间$(X,\Sigma )$上的一个σ-有限测度$\nu$关于另一个σ-有限测度$\mu$绝对连续，那么存在一个在$X$上可测的函数$f$，其取值范围为非负实数（$[0,\infty )$），并且对所有的可测集合$A$，都有：

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$

这个定理得名于数学家约翰·拉东以及欧顿·尼科迪姆。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为$R^{N}$时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形。1936年，汉斯·弗洛伊登萨将这个定理推广，证明了里斯空间理论中的弗洛依登萨谱定理。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。

拉东-尼科迪姆导数是

$f={\frac {d\nu }{d\mu }}$

属性

• $\lambda$几乎处处：
  $${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$$
• 若 ν ≪ μ ≪ λ, 则 $\lambda$几乎处处：
  $${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$$
• 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 则 $\nu$几乎处处：
  $${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.$$
• 若 μ ≪ λ 则
  $$\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$$
• $${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$$