拉回 (微分几何)

本文考虑微分几何中的拉回操作，特别是光滑流形上微分形式与张量场。关于“拉回”在数学中其他含义，参见拉回。

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 φ:M→ N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 φ 拉回，经常记作 φ^*。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 φ 拉回到 M 上。

当映射 φ 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 N 上的张量场变换到 M，或者相反。特别地，如果 φ是 Rⁿ 的开集与 Rⁿ 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

光滑函数与光滑映射

设 φ:M→ N 是光滑流形 M 与 N 之间的光滑映射，假设 f:N→R 是 N 上一个光滑函数。则 f 通过 φ 的拉回是 M 上的光滑函数 φ^*f，定义为 (φ^*f)(x) = f(φ(x))。类似地，如果 f 是 N 中开集 U 上的光滑函数，则相同的公式定义了 M 中开集 φ^-1(U) 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 N 上光滑函数层到 φ 的直接像（在 M 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 f:N→A 是从 N 到任意其他流形 A 的光滑映射，则φ^*f(x)=f(φ(x)) 是从 M 到 A 的一个光滑映射。

丛与截面

如果 E 是 N 上一个向量丛（或任意纤维丛），φ:M→N 是光滑映射，那么拉回丛 φ^*E 是 M 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 M 中的点 x 处的纤维由 (φ^*E)_x = E_φ(x) 给出。

在此情形，前复合定义了 E 上截面的一个变换：如果 s 是 N 上 E 的一个截面，那么拉回截面 $\varphi ^{*}s=s\circ \varphi$ 是 M 上拉回丛 φ^*E 的一个截面。

多重线性形式

设 Φ:V→ W 是向量空间 V 与 W 之间的一个线性映射（即，Φ 是 L(V,W) 中的元素，也记成 Hom(V,W)），设

$F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R}$

是 W 上一个多重线性形式（也称为 (0,s) 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 s 是乘积中 W 的因子的个数）。则 F 由 Φ 的拉回 Φ^*F 是一个 V 上的多重线性形式，定义为 F 与 Φ 的前复合。准确地，给定 V 中向量 v₁,v₂,...,v_s， Φ^*F 由公式定义

$(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),$

这是 V 上一个多重线性形式。从而 Φ^* 是一个从 W 上的多重线性形式到 V 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 F 是 W 上一个线性形式（或 (0,1) -张量），那么 F 是 W 的对偶空间 W^* 中一个元素，则 Φ^*F 是 V^* 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反：

$\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.$

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 W 上取值于 r 个 W 的张量积 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从 $V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的前推算子，定义为

$\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).$

然而，如果 Φ 可逆，拉回可以用逆函数 Φ^-1 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 (r,s) 阶张量一个拉回算子。

余切向量与 1 形式

设 φ : M → N 是光滑流形间的光滑映射。那么 φ 的前推：φ_* = dφ （或 Dφ），是从 M 的切丛 TM 到拉回丛 φ^*TN 的（在 M 上）向量丛同态。从而 φ_* 的转置是从 φ^*T^*N 到 M 的余切丛 T^*M 的丛映射。

现在假设 α 是 T^*N 的一个截面（N 上一个 1-形式），将 α 与 φ 前复合得到 φ^*T^*N 的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 α 由 φ 的拉回，是 M 上一个 1-形式，定义为：

$(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))$

对 x 属于 M 与 X 属于 T_xM。

（共变）张量场

对任何自然数 s，上述构造马上可推广到 (0,s) 阶张量丛上。流形 N 上 (0,s) 张量场 是 N 上张量丛的一个截面，在 N 中 y 点的截面是多重线性 s-形式空间

$F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .$

取 Φ 等于从 M 到 N 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 M 上 (0,s) 张量场的拉回。更确切地，如果 S 是 N 上一个 (0,s)-张量场，那么 S 由 φ 的拉回 是 M 上 (0,s)-张量场 φ^*S，定义为

$(\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,$

对 x 属于 M 与 X_j 属于 T_xM。

微分形式

共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一个微分 k-形式，即 TN（逐点）反交换 k-形式组成的外丛 Λ^kT*N 的一个截面，则 α 的拉回是 M 上一个微分 k-形式，定义与上一节相同：

$(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,$

对 x 属于 M 与 X_j 属于 T_xM。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和楔积相容：假设同上，对 N 上的微分形式 α 与 β，

$\varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .$

2. 和外导数 d 相容：如果 α 是 N 上一个微分形式，则

$\varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .$

由微分同胚拉回

当流形之间的映射 φ 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

$\Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)$

可逆，给出

$\Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).$

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 TN 与 T^*N 两部分，分别用 Φ 与 Φ^-1 变换。当 M = N 时，则拉回和前推刻画了流形 M 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

由自同构拉回

上一节的构造有一个代表性特例，若 φ 是流形 M 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 dφ 是 GL(TM,φ^*TM) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 GL(m) (m = dim M) 相配于 M 的标架丛 GL(M) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

拉回与李导数

更多信息：李导数

将上述想法应用到由向量场 M 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

联络（共变导数）

如果 $\nabla$ 是 N 上向量丛 E 的联络（或共变导数），φ 是从 M 到 N 的光滑映射，那么在 M 上的向量丛 φ^*E 上有拉回联络 $\varphi ^{*}\nabla$，由等式

$(\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)$

惟一确定。

另见

• 前推 (微分)
• 拉回丛
• 拉回 (范畴论)

参考文献

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
• B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.