札克变换
在数学中,札克变换[1] [2] (英文:Zak Transform,也称盖尔范德映射)是一种变换,输入是一个一元函数,输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义,其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中,札克变换的输入为时域信号,输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值,可定义在连续集(如全体实数)或离散集(如整数或整数的子集)上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。 [1] [2]
札克变换在不同领域被多人独立发现,各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换,因而其也被称为盖尔范德映射。1967年,约书亚·札克独立地重新发现了这一变换,称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换,因为札克首先意识到了它的应用前景,并在更一般的情况下,对其进行了更系统的研究。[1][2]
连续时间札克变换:定义
编辑在连续时间札克变换中,假定输入函数为实变函数,设 为实变量t的函数, 的连续时间札克变换结果为一个二元函数,其中一个变量是t ,另一个变量用w表示,可由如下多种方式定义:
定义1
编辑设a为大于0的常数, 的连续时间札克变换可定义如下:[1]
定义2
编辑在定义1中,有时取a = 1。[2] 在这种情况下, 的连续时间札克变换可以简化为:
定义3
编辑有时,连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下, 的连续时间札克变换为:
定义4
编辑设T为为大于0的常数。 的连续时间札克变换也可由下式定义:[2]
此时,t与w满足: ,
示例
编辑试求如下函数的札克变换:
解:
其中 表示不小于 的最小整数(ceil函数)。
札克变换的性质
编辑以下讨论中的札克变换均采用定义二:
1.线性
设a和b为任意复数,则:
2.周期性
3.准周期性
4.共轭性
5.对偶性
- 若 是偶函数,则:
- 若 是奇函数,则:
6.卷积性
令 表示对变量t的卷积:
逆变换公式
编辑给定函数的札克变换,原函数可用下式计算:
离散札克变换:定义
编辑设 是一个定义在整数域上的函数,即自变量n是一个整数,满足 。与连续时间札克变换相同, 的离散札克变换同样是一个二元函数,其中一个自变量是 ,另一个变量是一个实数,表示为 ;离散札克变换同样有不同的定义,下面给出其中一种定义方式:
定义
编辑函数的离散札克变换 ,记为 ,由下式定义,其中 是一个整数:
逆变换公式
编辑给定函数的离散札克变换 ,原函数可用下式计算:
应用
编辑参考文献
编辑- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Zak transform. Encyclopedia of Mathematics. [15 December 2014]. (原始内容存档于2014-12-19).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Alexander D. Poularikas (编). Transforms and Applications Handbook 3rd. CRC Press. 2010: 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4.
- ^ J. Klauder, B.S. Skagerstam. Coherent States. World Scientific. 1985.