林德曼-魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 是代数数，在有理数 ℚ 内是线性独立的，那么 $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 在 ℚ 内是代数独立的；也就是说，扩张域 $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$ 在 ℚ 内具有超越次数 n。

一个等价的表述是：如果 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 是不同的代数数，那么指数 $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数 $\alpha$ ， $e^{\alpha }$ 都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

e和π的超越性编辑

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设 $\alpha$ 是一个非零的代数数，那么 $\left\{\alpha \right\}$ 在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述， $\left\{e^{\alpha }\right\}$ 是一个代数独立的集合，也就是说， $e^{\alpha }$ 是超越数。特别地， $e^{1}=e$ 是超越数^。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果 $\alpha$ 是一个非零的代数数，那么 $\left\{0,\alpha \right\}$ 就是不同的代数数的集合，因此集合 $\{e^{0},e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}$ 在代数数范围内是线性独立的，特别地， $e^{\alpha }$ 不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明 $\pi$ 是超越数。如果π是代数数， $2\pi i$ 也是代数数（因为 $2i$ 是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理， $e^{2\pi i}$ （参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果 $\alpha$ 是一个非零的代数数，那么 $\sin(\alpha )$ 、 $\cos(\alpha )$ 、 $\tan(\alpha )$ 和它们的双曲函数也是超越数。

$p$ 进数猜想编辑

$p$ 进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设 $p$ 是素数， $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 是 $p$ 进数，它们都是代数数，且在ℚ内线性独立，使得对于所有的 $i$ ，都有 $|\alpha _{i}|_{p}<1/p$ 。那么p进指数 $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 在ℚ内是代数独立的。