格蘭迪級數 （英語：Grandi's series ），即
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle 1-1+1-1+\cdots }
數學家 格蘭迪 丹尼爾·伯努利 和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉 等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}
它是一個發散級數 ，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和 和切薩羅和 均為
1
2
{\displaystyle \,{\frac {1}{2}}}
格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + … 有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2n n n 的特例（其中
n
{\displaystyle n}
巴塞爾問題 上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數 和黎曼ζ函數 。
針對以下的格蘭迪級數
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和 ：
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。
格蘭迪級數為发散几何级数 ，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：
S
{\displaystyle S}
1 −
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
2
S
{\displaystyle S}
可得到
S
{\displaystyle S}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
[1]
依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：
格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1] [2]
格蘭迪級數的和為
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
[2] 上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論[3] [4]
穩定性及線性
编辑
對於格蘭迪級數
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots }
1
2
{\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}}
級數內的數兩兩相加或相減。
每一項乘以一個係數。
調整括弧順序。
在級數前面增加新的項。 不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}
由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程 得出一數值。暫時假設
s
=
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,s=1-1+1-1+\cdots \,}
s
{\displaystyle \;s\;}
s
=
1
2
{\textstyle \;s={\frac {1}{2}}}
2
s
=
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
+
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
=
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
+
1
+
(
−
1
+
1
−
1
+
1
⋯
)
=
1
+
[
(
1
−
1
−
1
+
1
⏟
0
)
+
(
−
1
+
1
+
1
−
1
⏟
0
)
+
⋯
]
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}
因此，
s
=
1
2
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}
[5]
再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和[6]
切薩羅和
编辑
恩納斯托‧切薩羅 在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和 。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個
n
{\displaystyle \;n\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
σ
n
{\textstyle \;\sigma _{n}\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
以格蘭迪級數而言，而數列
s
1
+
⋯
+
s
n
n
{\textstyle {\tfrac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}}
1
1
,
1
2
,
2
3
,
2
4
,
3
5
,
3
6
,
4
7
,
4
8
,
…
{\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }
而
lim
n
→
∞
s
1
+
⋯
+
s
n
n
=
1
2
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}}
因此，格蘭迪級數的切薩羅和為
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
也可以用廣義的切薩羅和
(
C
,
a
)
{\displaystyle \;\left(C,a\right)\;}
[7]
這個級數的部分和 如下：
{
S
1
=
1
S
2
=
1
−
1
=
0
S
3
=
1
−
1
+
1
=
1
S
4
=
1
−
1
+
1
−
1
=
0
⋮
{\displaystyle {\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}}
由此得出另一個無窮序列：
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
,
⋯
=
1
,
0
,
1
,
0
,
⋯
{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},\cdots =1,0,1,0,\cdots }
根據無窮級數的定義，
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
=
lim
n
→
∞
S
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}}
但是
S
n
{\displaystyle \;S_{n}\;}
lim
n
→
∞
S
n
{\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }S_{n}\;}
因此
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
{\displaystyle \;\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\;}
格蘭迪級數的應用
编辑
以下的幂級數和格蘭迪級數有關，也是其母函数 ：
f
(
x
)
=
1
−
x
+
x
2
−
x
3
+
⋯
=
1
1
+
x
{\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}
狄拉克梳
编辑
格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：
cos
x
+
cos
2
x
+
cos
3
x
+
⋯
=
∑
k
=
1
∞
cos
(
k
x
)
.
{\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).}
若x = π，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1 ⁄2 ，不過達朗貝爾 不同意此關係式，而拉格朗日 認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明[8]
歐拉的聲明推測
1
+
2
∑
k
=
1
∞
cos
(
k
x
)
=
0
?
{\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?}
針對所有的x ，此級數都發散，不過對於幾乎所有 的x ，切萨罗和 均為0。不過在x = 2πn 時，其級數發散，而且是狄拉克梳 傅立葉級數 。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核 、费耶核 及泊松核 [9]
狄利克雷级数
编辑
將格蘭迪級數各項乘以1/n z 狄利克雷级数
η
(
z
)
=
1
−
1
2
z
+
1
3
z
−
1
4
z
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
z
,
{\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},}
上述級數只有在實部大於0的複數 z 才會收斂，若令z = 0，即為格蘭迪級數。
不同於幾何級數，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的
η
(
z
)
{\displaystyle \eta (z)}
η
(
z
)
{\displaystyle \eta (z)}
另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的
η
(
z
)
{\displaystyle \eta (z)}
狄利克雷η函数 ，而且此函數為解析函数 。若z 的實部> −1，就可以用切薩羅和 進行求和，因此η(0) = 1 ⁄2 。
狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關：
η
(
z
)
=
1
+
1
2
z
+
1
3
z
+
1
4
z
+
⋯
−
2
2
z
(
1
+
1
2
z
+
⋯
)
=
(
1
−
2
2
z
)
ζ
(
z
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}
其中ζ為黎曼ζ函數 。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1 ⁄2 。參照1 + 1 + 1 + 1 + … 。
上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(z )和(1 − 21−z )相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函数，而後者的零点 是在z = 1的簡單零點 ，因此可得ζ(z )為亚纯函数 ，只在z = 1有一個極點 [10]
格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的费米子 場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在玻色子 的相關研究中，例如卡西米爾效應 。
在光谱非对称性 正規化 的一部份，例如ζ函數正規化
相關條目
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參考資料
编辑
^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe . Scientific American Library. 1994: 77 . ISBN 0-7167-6022-3 ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions . Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9 ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series . Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. JSTOR 2690371 doi:10.2307/2690371 ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series . Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2 ^ Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}
^ Davis pp.152, 153, 157
^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64 . ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34 : 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004 ^ Davis pp. 153–159
^ Knopp pp. 491–492
![{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056466ea3bbda58c1f81516bf8ce589c61e22f9c)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bdf898b79dd021b9adbcd40469ac6e7ba1329b)
