正规态射

在範疇論中，正规態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。

定義编辑

設 ${\mathcal {C}}$ 為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設 $f:X\to Y$ 為態射。設 $p_{1},p_{2}:\;X\times _{Y}X\to X$ 為積的投影，而 $i_{1},i_{2}:\;Y\to Y\sqcup _{X}Y$ 為上積的內射。定義：

上像： $\mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})$
像： $\mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})$

根據極限性質，自然態射 $X\to \mathrm {Coim} (f)$ 是滿射，而 $\mathrm {Im} (f)\to Y$ 則是單射。此外還存在唯一一個態射 $u:\;\mathrm {Coim} (f)\to \mathrm {Im} (f)$ ，使得合成態射

X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y

正好是 $f$ 。

若 $u$ 為同構，則稱 $f$ 為正规態射；正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。

性質编辑

以下三個條件等價：
- $f$ 為嚴格滿射
- $\mathrm {Coim} (f)\to Y$ 為同構
- 序列 $X\times _{Y}X\Rightarrow X\rightarrow Y$ 正合
如果 $f$ 同時是嚴格滿射與嚴格單射，則 $f$ 為同構。
$X\to \mathrm {Coim} (f)$ 恆為嚴格滿射。

對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取 ${\mathcal {C}}$ 為拓撲向量空間範疇， ${\mathcal {C}}$ 中存在所有有限的積與上積。 ${\mathcal {C}}$ 中的態射 $f:X\to Y$ 即連續線性映射，其像 $\mathrm {Im} (f)$ 是空間 $f(X)$ 配與 $Y$ 的子空間拓撲，上像 $\mathrm {Coim} (f)$ 則是 $f(X)$ 配與 $f:X\to f(X)$ 的商拓撲；後者一般較前者為細。