M 上一个泊松结构 （Poisson structure ）是一个双线性映射
{
,
}
:
C
∞
(
M
)
×
C
∞
(
M
)
→
C
∞
(
M
)
,
{\displaystyle \{,\}:C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M),\,}
使得这个括号反对称 ：
{
f
,
g
}
=
−
{
g
,
f
}
,
{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\},\,}
服从雅可比恒等式 ：
{
f
,
{
g
,
h
}
}
+
{
g
,
{
h
,
f
}
}
+
{
h
,
{
f
,
g
}
}
=
0
,
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0,\,}
是 C ∞ (M ) 关于第一个变量的导子 ：
{
f
g
,
h
}
=
f
{
g
,
h
}
+
g
{
f
,
h
}
{\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}
f
,
g
,
h
∈
C
∞
(
M
)
.
{\displaystyle f,g,h\in C^{\infty }(M).\,}
上一个性质有多种等价的表述。取定一个光滑函数 g ∈ C ∞ (M )，我们有映射
f
↦
{
g
,
f
}
{\displaystyle f\mapsto \{g,f\}}
C ∞ (M ) 上一个导子。这意味着存在 M 上哈密顿向量场 X g
X
g
(
f
)
=
{
f
,
g
}
{\displaystyle X_{g}(f)=\{f,g\}\,}
对所有 f ∈ C ∞ (M )。这说明这个括号只取决于 f 的微分。从而，任何泊松结构有一个相伴的从 M 的余切丛 T∗ M 到切丛 TM 的映射
B
M
:
T
∗
M
→
T
M
,
{\displaystyle B_{M}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M,\,}
将 df 映为 X f
泊松双向量
编辑
余切丛与切丛之间的映射意味着 M 上存在一个双向量 场 η ，泊松双向量 （Poisson bivector ），一个反对称 2 张量
η
∈
⋀
2
T
M
{\displaystyle \eta \in \bigwedge ^{2}TM}
{
f
,
g
}
=
⟨
d
f
⊗
d
g
,
η
⟩
,
{\displaystyle \{f,g\}=\langle \mathrm {d} f\otimes \mathrm {d} g,\eta \rangle ,\,}
这里
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\rangle }
M 上一个双向量场 η ，这个公式可用来定义一个关于第一个变量为导子的反对称括号。这个括号服从雅可比恒等式，从而定义了一个泊松结构当且仅当斯豪滕–尼延黑斯括号 [η ,η ] 等于 0。
在局部坐标中，双向量在一点 x = (x 1 , ..., x m
η
x
=
∑
i
,
j
=
1
m
η
i
j
(
x
)
∂
∂
x
i
⊗
∂
∂
x
j
{\displaystyle \eta _{x}=\sum _{i,j=1}^{m}\eta _{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\otimes {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,}
从而
{
f
,
g
}
(
x
)
=
∑
i
,
j
=
1
m
η
i
j
(
x
)
∂
f
∂
x
i
⊗
∂
g
∂
x
j
.
{\displaystyle \{f,g\}(x)=\sum _{i,j=1}^{m}\eta _{ij}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\otimes {\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}.\,}
对一个辛流形，η 不过是由辛形式 ω 诱导的余切丛与切丛之间的配对，存在性是其非退化 保证。辛流形与泊松流形的差别在于辛形式必须无处奇异，而泊松双向量不必处处都满秩。当泊松双向量处处为零时，称流形有平凡泊松结构 。
泊松映射
编辑
泊松映射 （Poisson map ）定义为光滑映射
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi :M\to N}
M 映到泊松流形 N ，保持括号积：
{
f
1
,
f
2
}
N
∘
ϕ
=
{
f
1
∘
ϕ
,
f
2
∘
ϕ
}
M
{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}_{N}\circ \phi =\{f_{1}\circ \phi ,f_{2}\circ \phi \}_{M}\,}
这里 { , }M N M 与 N 上的泊松括号。
乘积流形
编辑
给定两个泊松流形 M 与 N ，可以在乘积流形上定义一个泊松括号 。设 f 1 与 f 2 是定义在乘积流形 M × N 上两个光滑函数，利用在因子流形上的括号 { , }M N M ×N
{
f
1
,
f
2
}
M
×
N
(
x
,
y
)
=
{
f
1
(
x
,
⋅
)
,
f
2
(
x
,
⋅
)
}
N
(
y
)
+
{
f
1
(
⋅
,
y
)
,
f
2
(
⋅
,
y
)
}
M
(
x
)
{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}_{M\times N}(x,y)=\{f_{1}(x,\cdot ),f_{2}(x,\cdot )\}_{N}(y)+\{f_{1}(\cdot ,y),f_{2}(\cdot ,y)\}_{M}(x)\,}
这里 x ∈ M 与 y ∈ N 都是常数；这就有，当
f
(
⋅
,
⋅
)
:
M
×
N
→
R
,
{\displaystyle f(\cdot ,\cdot ):M\times N\to \mathbb {R} ,\,}
则蕴含着
f
(
x
,
⋅
)
:
N
→
R
{\displaystyle f(x,\cdot ):N\to \mathbb {R} \,}
与
f
(
⋅
,
y
)
:
M
→
R
.
{\displaystyle f(\cdot ,y):M\to \mathbb {R} .\,}
一个泊松流形可以分成一族辛叶子 （symplectic leaves ）。每一片叶子是泊松流形的一个子流形，每片叶子自身是一个辛流形。两个点在同一片叶子上如果他们由一个哈密顿向量场的积分曲线 连接。即，哈密顿向量场的积分曲线在这个流形上定义了一个等价关系 。这个等价关系的等价类就是辛叶子。
如果
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
李代数 ，
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
f 1 与 f 2 是
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
x
∈
g
∗
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}}
{
f
1
,
f
2
}
(
x
)
=
⟨
[
(
d
f
1
)
x
,
(
d
f
2
)
x
]
,
x
⟩
{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(x)=\langle \;\left[(df_{1})_{x},(df_{2})_{x}\right]\,,x\rangle }
这里
d
f
∈
(
g
∗
)
∗
≃
g
{\displaystyle \mathrm {d} f\in ({\mathfrak {g}}^{*})^{*}\simeq {\mathfrak {g}}}
e k
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
η
i
j
(
x
)
=
∑
k
c
i
j
k
⟨
x
,
e
k
⟩
{\displaystyle \eta _{ij}(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}\langle x,e_{k}\rangle \,}
给出，这里
c
i
j
k
{\displaystyle c_{ij}^{k}}
结构常数 （structure constant ）。
一个复泊松流形 （complex Poisson manifold ）是一个具有复结构或殆复结构 J 的泊松流形使得复结构保持双向量：
(
J
⊗
J
)
(
η
)
=
η
.
{\displaystyle \left(J\otimes J\right)(\eta )=\eta .\,}
复泊松流形的辛叶子是伪凯勒流形 （pseudo-Kähler manifold ）。
参考文献
编辑
A. Lichnerowicz, "Les variétès de Poisson et leurs algèbres de Lie associées", J. Diff. Geom. 12 (1977), 253-300.
A. A. Kirillov, "Local Lie algebras", Russ. Math. Surv. 31 (1976), 55-75.
V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics , Cambridge Univ. Press 1984.
P. Liberman, C.-M. Marle, Symplectic geometry and analytical mechanics , Reidel 1987.
K. H. Bhaskara, K. Viswanath, Poisson algebras and Poisson manifolds , Longman 1988, ISBN 0-582-01989-3 .
I. Vaisman, Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds , Birkhäuser, 1994. See also the review （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） by Ping Xu in the Bulletin of the AMS. 
![{\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(x)=\langle \;\left[(df_{1})_{x},(df_{2})_{x}\right]\,,x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b407ae442518a6a6220e55887918d794997ad6de)
