狄利克雷定理

此条目页的主題是数论中的定理。关于数学其他领域的狄利克雷定理，請見「狄利克雷定理 (消歧义)」。

狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对$(r,N)$，模$N$同余$r$的质数集合$\{x|r\equiv x{\bmod {N}};x\ is\ prime\}$相对质数集合$\{x|x\ is\ prime\}$的密度为${\frac {1}{\phi (N)}}$。

定理内容

狄利克雷定理表明：

若 $r,N$ 互质，则$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,r)}{\pi (x)}}={\frac {1}{\phi (N)}}$

其中，$\phi (N)$为欧拉函数，$\pi (x)$为质数计数函数，$\pi (x;N,r)$为模$N$同余$r$集合中小于$x$的质数个数。

质数在同余类中的分布

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模$N$同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

• 以$N=6$为例：共有$[0],[1],[2],[3],[4],[5]$共$6$个模$N$同余集合，其中同余集合$[0],[2],[3],[4]$不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合$[1],[5]$中：

在不大于$10,000$的质数中，质数在$[1],[5]$中的比率分别为$49.67\%$和$50.16\%$；

在不大于$100,000$的质数中，质数在$[1],[5]$中的比率分别为$49.88\%$和$50.10\%$；

在不大于$1,000,000$的质数中，质数在$[1],[5]$中的比率分别为$49.98\%$和$50.02\%$。

• 以$N=8$为例：共有$[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]$共$8$个模$N$同余集合，其中同余集合$[0],[2],[4],[6]$不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合$[1],[3],[5],[7]$中：

不大于$10,000$的质数中，质数在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分别为$23.98\%,25.28\%,25.53\%$和$25.12\%$；

在不大于$100,000$的质数中，质数在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分别为$24.85\%,25.12\%,25.01\%$和$25.01\%$；

在不大于$1,000,000$的质数中，质数在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分别为$24.91\%,25.04\%,25.00\%$和$25.06\%$；

相關定理

• 歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如$2n+1$。
• 算術級數的質數定理：若$a,d$互質，則有

$\sum _{p\leq x\quad p\equiv a{\pmod {d}}}1\sim {\frac {1}{\phi (d)}}{\frac {x}{\ln(x)}}$。

其中φ是歐拉函數。取$d=2$，可得一般的質數定理。

• 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數$a+nd$中最小的質數少於$cd^{L}$，其中$L$和$c$均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
• 柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

歷史

歐拉曾以$\sum {\frac {1}{p}}=\infty$，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，借助證明$\sum _{p\equiv a{\pmod {d}}}{1/p}=\infty$來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。

推廣

這個定理的一些推廣形式，但是都還只是未被證明的猜想而已，並不是定理。

• 布尼亞科夫斯基猜想，推廣至>=2次的多項式
• 狄克森猜想，推廣至>=2個多項式
• 欣策爾假設H，上述兩個推廣合併

參考

• T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7