矩阵微分方程

微分方程是变量的未知函数的数学方程，将函数值与不同阶导数联系起来。矩阵微分方程包含多个函数，以向量形式堆叠在一起，并由一个矩阵将它们与导数联系起来。

例如，一阶矩阵常微分方程为

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)$

其中$\mathbf {x} (t)$是基变量$t$的函数的$n\times 1$向量，$\mathbf {\dot {x}} (t)$是函数的一阶导，$\mathbf {A} (t)$是$n\times n$系数矩阵。

若$\mathbf {A}$为常数且有n个线性无关的特征向量，微分方程有如下一般解：

$\mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,$

其中λ₁, λ₂, …, λ_n是A的特征值，u₁, u₂, …, u_n是A相应的特征向量；c₁, c₂, …, c_n为常数。

更一般地说，若$\mathbf {A} (t)$等于其积分$\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds$，则马格努斯展开降为前导阶，微分方程的一般解是

$\mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,$

其中$\mathbf {c}$是$n\times 1$常向量。

通过使用哈密尔顿–凯莱定理和类范德蒙矩阵，这种形式化的矩阵指数解可简化为一种简单的形式。下面，我们将用普策算法（Putzer's algorithm）来展示这一方法。

矩阵系统的稳定性与稳态

矩阵方程

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b}$

当且仅当常数矩阵A的所有特征值的实部都为负，n×1参数常数向量b才稳定。

稳定时收敛到的稳态x*可置

$\mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,$

找到，因此有

$\mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,$

假设A可逆。

因此，原方程可用偏离稳态的齐次形式来写

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.$

一种等效的表达是，x*是非齐次方程的一个特解，而所有解的形式都是

$\mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,$

其中$\mathbf {x} _{h}$是齐次方程（b=0）的解。

双状态变量情形的稳定性

n = 2（2个状态变量）时，稳定条件为：过渡矩阵A的两个特征值均有负实部，等价于A的迹为负、行列式为正。

矩阵形式的解

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]$的形式解为矩阵指数形式

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} ^{*}+e^{\mathbf {A} t}[\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} ^{*}]~,$

使用多种技术中的任何一种进行评估。

计算e^At的普策算法

给定特征值为$\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$的矩阵A，

$e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}$

其中

$\mathbf {P} _{0}=\mathbf {I}$

$\mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad j=1,2,\dots ,n-1$

${\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}$

$r_{1}{\left(0\right)}=1$

${\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n$

$r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n$

$r_{i}(t)$的方程是简单的一阶非齐次常微分方程。

注意该算法并不要求矩阵A可对角化，并绕过了通常使用的若尔当标准形的计算。

矩阵常微分方程解构示例

一阶齐次矩阵常微分方程包含两个函数x(t)、y(t)，从矩阵形式解出后有如下形式：

${\frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,\quad {\frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y$

其中$a_{1}$、$a_{2}$、$b_{1}$、$b_{2}$可为任意标量。 高阶矩阵ODE的形式可能复杂得多。

解分解后的矩阵常微分方程

求解上述方程并找到这种特定阶次和形式的所需函数的过程大概分3步。每个步骤的简要说明如下：

• 找到特征值
• 找到特征向量
• 找到所需函数

第三部通常是把前两步的结果代入专门形式的一般方程中，下详。

矩阵ODE已解示例

参见：矩阵指数 § 线性微分方程_2

要按上述3步解矩阵ODE，并在过程中使用简单矩阵，具体来说，现在下面的一阶齐次线性ODE中找到函数x、函数y，都用单一自变量t表示：

${\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.$

要解这个常微分方程系统，在过程中的某时刻需要一组两个初始条件（对应起点的两个状态变量）。这时先取x(0) = y(0) = 1。

第一步

第一步即找到A的特征值

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.$

上面的导数记号x′等称为拉格朗日记法（由约瑟夫·拉格朗日提出，等同于前面方程里的dx/dt，这是莱布尼兹记法，得名于戈特弗里德·莱布尼茨）。

一旦两个变量的系数被写为上述矩阵形式A，就可估计特征值了。为此，可求矩阵行列式，即从上述系数矩阵中减去单位矩阵$I_{n}$乘常数λ，再得到特征多项式

$\det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,$

再解得其零点。

进一步简化、应用矩阵加法的基本规则，得出

$\det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.$

应用求单一2×2矩阵行列式的规则，可得下列一元二次方程

$\det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0$

$-21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!$

可以进一步简化

$\lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.$

应用因式分解得到给定一元二次方程的两个根$\lambda _{1}$、$\lambda _{2}$

$\lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0$

$\lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0$

$(\lambda -1)(\lambda +5)=0$

$\lambda =1,-5~.$

上面算出的$\lambda _{1}=1$、$\lambda _{2}=-5$即所求A的特征值。 矩阵ODE的特征值可能是复数，求解过程的下一步及最终形式和解法可能会有巨大变化。

第二步

第二步即找到A的特征向量。

对算出的每个特征值，都有单独的特征向量。例如对第一个特征值即$\lambda _{1}=1$，有

${\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.$

应用矩阵乘法规则简化上式，得到

$3\alpha -4\beta =\alpha$

$\alpha =2\beta ~.$

所有计算都是为了得到最后一个式子，本例中就是α = 2β。现在任取一个无关紧要的小值（这样更容易处理），代入α = 2β中的α或β（选哪个并不重要），这样就得到了一个简单的向量，就是这个特定特征值所需的特征向量。在本例中，我们取α = 2，得β = 1。用标准的向量符号来写，向量是这样的

$\mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.$

对第二个特征值$\lambda =-5$进行相同的计算，得到第二个特征向量，结果为

$\mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

第三步

最后一步是找到“隐藏”在导数背后的所求函数。有两个函数，因为微分方程涉及两个变量。

方程包含之前得到的所有信息，形式如下：

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.$

代入特征值和特征向量，得到

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

简化

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.$

再简化，分别写出函数x、y的方程

$x=2Ae^{t}+Be^{-5t}$

$y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.$

上述方程就是所求的一般函数，但只是一般形式（A、B的值未指定），但我们想找到它们的精确形式和解。因此现在，考虑问题的给定初始条件（即所谓初值问题）。假设给定了$x(0)=y(0)=1$，是ODE的起点；条件的应用指定了常数A、B。从条件$x(0)=y(0)=1$可以看出，t = 0时，上述方程的左式等于1，由此可构造下列线性方程组

$1=2A+B$

$1=A+2B~.$

求解这些等式，发现常数A、B都等于1/3。因此将这些值代入这两个函数的一般形式，就可以得到它们的精确形式

$$x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}$$

$$y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,$$

所求的两个函数。

使用矩阵指数

上述问题可以直接应用矩阵指数法解决。也就是说，可以说

${\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right){\begin{bmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{bmatrix}}$

给出了（可用MATLAB的expm工具包之类，或通过对角化，并利用对角矩阵的矩阵指数与元素的指数化相等这一特性来计算）

$\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right)={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}$

得到最终解

${\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-5t}/3+2e^{t}/3\\e^{t}/3+2e^{-5t}/3\end{bmatrix}}$

这与之前展示的特征向量方法相同。

另见

• 齐次微分方程
• 矩阵差分方程
• 冷却定律
• 斐波那契数列
• 差分方程
• 波动方程
• 自治系统 (数学)