算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$为 $n$ 个正实数，它们的算术平均数是$\mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$，它们的几何平均数是 $\mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数$x_{1},\ldots ,x_{n}$：

$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$

等号成立当且仅当 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

通常用于两个数之间，设这两个数为$a$和$b$，也就是${\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}$

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子

在 $n=4$ 的情况，设：$x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5$，那么

$\mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945$

可见$\mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}$。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。$n=2$的情况很早就为人所知，但对于一般的 $n$，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：

命题$P_{n}$：对任意的 $n$ 个正实数$x_{1},\ldots ,x_{n}$，$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$

当 $n=2$ 时，$P_{2}$显然成立。假设 $P_{n}$ 成立，那么 $P_{2n}$ 成立。证明：对于$2n$ 个正实数$x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}$，

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)$

$\geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}$

$=\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}$

假设$P_{n}$成立，那么$P_{n-1}$成立。证明：对于$n-1$ 个正实数$x_{1},\cdots ,x_{n-1}$，设$\mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$，$\mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}$，那么由于$P_{n}$成立， ${\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}$。

但是 $x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}$， $x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}$，因此上式正好变成

$\mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}$

也就是说$\mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}$

综上可以得到结论：对任意的自然数 $n\geq 2$，命题 $P_{n}$ 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 $k$，命题 $P_{2^{k}}$ 都成立。因此对任意的 $n\geq 2$，可以先找 $k$ 使得 $2^{k}\geq n$，再结合第三条就可以得到命题 $P_{n}$ 成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的：

由对称性不妨设 $x_{n+1}$ 是 $x_{1},x_{2}\cdots x_{n+1}$ 中最大的，由于 $\mathbf {A} _{n+1}={\frac {n\mathbf {A} _{n}+x_{n+1}}{n+1}}$ ，设 $x_{n+1}=\mathbf {A} _{n}+b$，则 $b\geq 0$，并且有 $\mathbf {A} _{n+1}=\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}}$。

根据二项式定理，

$\mathbf {A} _{n+1}^{n+1}=(\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}})^{n+1}\geq \mathbf {A} _{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf {A} _{n}^{n}{\frac {b}{n+1}}=\mathbf {A} _{n}^{n}(\mathbf {A} _{n}+b)=\mathbf {A} _{n}^{n}x_{n+1}\geq \mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}$

$=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}=\mathbf {G} _{n+1}^{n+1}$

于是完成了从 $n$ 到 $n+1$ 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明：

在 $n$ 的情况下有不等式 $\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$ 和 $x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}\geq n{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}$ 成立，于是：

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}}{n}}\geq \mathbf {G} _{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}\geq 2{\sqrt[{2n}]{\mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf {G} _{n+1}$

所以 $(n+1)\mathbf {A} _{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}\geq 2n\mathbf {G} _{n+1}-(n-1)\mathbf {G} _{n+1}=(n+1)\mathbf {G} _{n+1}$，从而有$\mathbf {A} _{n+1}\geq \mathbf {G} _{n+1}$。

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数$\mathbf {G} _{n}$ 实际上等于 $\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)$，因此算术-几何平均不等式等价于：

$\ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}$。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明

令 $b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)$，于是有 $b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1$，再作代换 $b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}$，运用排序不等式得到：

${\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n$，

于是得到 $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}$，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 和 $p_{1},\cdots ,p_{n}$ 为正实数，并且 $p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1$，那么：

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}$。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}$

设 $A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}$，$G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}$，那么有：

${\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}$

也就是说：对 $k$ 个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对 $n$ 个横行取的 $n$ 个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间$[0,1]$上可积的正值函数 $f$，都有

$\int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)$

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 ${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})$ 后，将两边的黎曼和中的 $n$ 趋于无穷大后得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式

若再規定$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$的调和平均数 $H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

則有

$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$

且等号依舊成立当且仅当 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

證明由算數-幾何平均值不等式知

${\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

故

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}$

即

$\mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$

且等號成立於

${\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}$

即

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

参见

• 平均数不等式
• 算术平均数
• 几何平均数
• 幂平均不等式
• 杨氏不等式

参考来源

• 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
• 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
• 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
• 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。