量子场论中,背景场方法是通过将场系统中一些量子场写成经典场(称为背景场)和量子场的叠加,从而计算原来的量子场的有效作用量英语Effective action的方法。由于该方法能给出保持规范对称性的结果,它常被用于规范场的量子化。[1][2]

原理

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量子场的格林函数英语Correlation_function_(quantum_field_theory)可以由其生成泛函 对外源 的泛函微商给出:[1]

 

连通格林函数英语Ursell function的生成泛函 为:[1]

 

有效作用量  勒让德变换[1]

 ,其中 由方程 决定。 也是单粒子不可约格林函数的生成泛函。[3]

如果将 写成经典场 (称为背景场)和量子场 的叠加:

 .

则同样可以定义背景场存在下量子场 的生成泛函  和有效作用量 [1]

 
 
  

 的路径积分表达式作 的变量代换,可以证明:[1][4]

 ,特别地, 

因此,为计算量子场 的有效作用量 ,只需计算 ,此方法即为背景场方法。实际计算通常会使用微扰方法:将作用量  的二次项当作无扰的作用量,用以构建 场的传播子,包含 更高阶次的项则视为相互作用项,并以微扰展开的方法处理。在这种处理下, 是背景场存在时,所有单粒子不可约的真空图英语Feynman_diagram#Vacuum_bubbles的贡献之和[1][5][6]。量子场只出现在这些图的内线中,而背景场只出现在这些图的外线中。进行重整化时,背景场的场强需要重整化,但量子场的场强不需要重整化[4]

应用

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背景场方法常被用于规范场的量子化。描述规范场论时,通常会从一个规范对称的作用量出发。然而为了量子化规范场,需要向作用量中引入规范固定项(对于非阿贝尔规范场还需引入鬼场),如下所示:[2][3]

 

其中 是规范场, 是引入的规范固定项, 是规范群的参数。[3]

规范固定后的作用量失去了原有的规范对称性。选取特定的规范并不会对可观测量的计算带来影响,这些量仍然具有规范对称性。但是不可观测的量,如格林函数、有效作用量以及重整化时引入的抵消项,通常不再具有规范对称性。[2][4]

如果使用背景场方法,在规范场上叠加一个经典场 ,并选取如下的规范固定项(这种规范也被称为背景场规范[7]):

 
 

那么生成泛函 在如下的无穷小规范变换下保持不变:[3][4]

   

因此,有效作用量 具有规范对称性。由它生成的所有单粒子不可约的格林函数也都是规范不变的,并且满足瓦德恒等式英语Ward–Takahashi_identity(在一般的规范下,格林函数只满足更为复杂的斯拉夫诺夫-泰勒恒等式英语Slavnov–Taylor_identities)。运用背景场方法令规范场论变得更易于理解,同时也大大简化了计算。[5]

背景场方法也可用来处理电弱标准模型,这种情况下,除了要为规范场引入背景场,也要为希格斯场引入背景场,并将对称性破缺带来的希场真空期望值放入背景场中,以避免树图水平上规范场和希场自由度的混合(参见Rξ规范英语Gauge_fixing#Rξ_gauges[5][8]。此外,背景场方法亦被用于处理引力和超引力相关的理论[1]

参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Abbott, L. F. Introduction to the Background Field Method (PDF). Acta Phys. Pol. B. 1982, 13: 33 [2018-04-03]. (原始内容 (PDF)存档于2017-05-10). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Kleinert, Hagen. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets 5. World Scientific. 2009. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Peskin, Michael; Schroeder, Daniel. Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Publishing. 1994. ISBN 0-201-50397-2. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 L.F. Abbott. The background field method beyond one loop. Nuclear Physics B: 189–203. [2018-04-05]. doi:10.1016/0550-3213(81)90371-0. (原始内容存档于2022-03-10). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 A. Denner, G. Weiglein, S. Dittmaier. Gauge invariance of Green functions: background-field method versus pinch technique. Physics Letters B: 420–426. [2018-04-05]. doi:10.1016/0370-2693(94)90162-7. (原始内容存档于2020-02-13). 
  6. ^ 3 Background field methods. Selected Topics in Gauge Theories. SpringerLink. : 47-71 [2018-04-05]. doi:10.1007/3-540-16064-7 (英国英语). 
  7. ^ 刘川, 量子规范场论讲义, 1.0, 2003 
  8. ^ Ansgar Denner, Georg Weiglein, Stefan Dittmaier. Application of the background-field method to the electroweak standard model. Nuclear Physics B: 95–128. [2018-04-05]. doi:10.1016/0550-3213(95)00037-s. (原始内容存档于2018-06-28).