早期針對菲涅爾轉換的研究
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追溯菲涅爾轉換為人知的時期，要回到十七世紀的時候，由一位義大利人Francesco Maria Grimaldi 在他的專題論文-"light"[1] Richard C. MacLaurin 藉由觀測光的傳遞、一條遠距離光源所產生的光束遇到一個有孔或狹長的障礙物時如何被影響，去解釋菲涅爾繞射現象。他使用了惠更斯－菲涅耳原理 去做推導，發現光的波前從障礙物的狹縫中穿出且射到一個距離狹縫有一段距離的屏幕上的效果，跟光的波前直接穿過去是差不多的，看起來就好像沒有經過任何的物理障礙一樣。這個結果表示如果一個縫隙如果非常的狹長，具有明亮中心的繞射寬帶則可以被觀測到；如果這個縫隙相對來說比前一個狀況寬一些，則會看見明暗交錯的繞射寬帶。若這個隙縫繼續的變大，則明暗交錯的繞射寬帶會漸漸地變的不明顯，直到繞射的現象無法再被觀測到為止。
MacLaurin沒有提到關於光如果從一個小孔照耀出去的話，繞射的中心會有機率受到影響而看不見。但是他指出相反的情況-如果一個圓形物體的影子區域，可能經由繞射效果而使的此區域變明亮，這也是我們俗稱的阿拉戈點。
在MacLaurin的著作-"光學"中[2]
菲涅爾轉換的積分
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要推導菲涅爾轉換，我們先考慮一個電場的繞射模式，給定
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
E
(
x
,
y
,
z
)
=
1
i
λ
∬
−
∞
+
∞
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
r
r
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle E(x,y,z)={1 \over {i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }{E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}}dx'dy'}
其中，
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle E(x',y',0)}
r
{\displaystyle r}
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
{\displaystyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}
i
{\displaystyle i\,}
菲涅爾轉換的近似型
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原積分式較為難處理的部分便是
r
{\displaystyle r}
ρ
{\displaystyle \rho }
x
,
y
{\displaystyle x,y}
ρ
2
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
{\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,}
因此
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
ρ
{\displaystyle \rho }
r
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
ρ
2
+
z
2
=
z
1
+
ρ
2
z
2
{\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}}
=
z
[
1
+
ρ
2
2
z
2
−
1
8
(
ρ
2
z
2
)
2
+
⋯
]
{\displaystyle =z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]}
=
z
+
ρ
2
2
z
−
ρ
4
8
z
3
+
⋯
{\displaystyle =z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots }
因為我們有以下的性質：
1
+
k
=
(
1
+
k
)
1
/
2
=
1
+
k
2
−
k
2
8
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {1+k}}=(1+k)^{1/2}=1+{\frac {k}{2}}-{\frac {k^{2}}{8}}+\cdots }
k
{\displaystyle k}
ρ
2
z
2
{\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}
接著，我們考慮上述展開式的第三項以後，我們希望那之後的項都非常小，小到可以忽略，若要達成這項條件，因為
r
{\displaystyle r}
ρ
≪
z
{\displaystyle \rho \ll z}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
這表示我們希望有以下性質：
k
ρ
4
8
z
3
≪
2
π
{\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}
ρ
4
z
3
λ
≪
8
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}
將
x
,
y
,
x
′
,
y
′
{\displaystyle x,y,x',y'}
x
,
y
,
x
′
,
y
′
{\displaystyle x,y,x',y'}
r
{\displaystyle r}
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
2
z
3
λ
≪
8
{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}
近似結果為泰勒展開式的前兩項：
r
≈
z
+
ρ
2
2
z
=
z
+
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
2
z
{\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
同時我們將分母的
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
E
(
x
,
y
,
z
)
=
e
i
k
z
i
λ
z
∬
−
∞
+
∞
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
2
z
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}
如前所述，本式子成立的條件須要我們能比較繞射半徑以及電磁波傳遞之距離，且前者須遠遠小於後者，不論是針對分子的複數exponential的項，或者是分母的項皆是如此。一般來說，當菲涅爾數為1的時候，菲涅爾繞射是可以發生的。同時，觀察此方程式，我們可以發現其類似一個球型波傳遞。雖然此積分式的分析解依然不容易求得(只有發生在少數狀況可直接得到)，若要在更簡化則需要使用夫朗和斐繞射公式。此外，菲涅爾繞射具備波前的曲線性，這樣才能計算出近場電磁波干擾時的相對相位角。
菲涅爾轉換與線性標準轉換
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要提到菲涅爾轉換，我們也必須提到線性標準轉換 ，因為菲涅爾轉換可視為線性標準轉換的一種在時頻分析上的修剪形式(傅立葉轉換對應到的事在時頻分析上的旋轉)；此處以z方向為電磁波傳遞方向，因
z
{\displaystyle z}
X
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
u
)
=
−
1
i
b
⋅
e
i
π
d
b
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
i
2
π
1
b
u
t
e
i
π
a
b
t
2
x
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-{\frac {1}{ib}}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;dt\,,}
當 b ≠ 0,
X
(
a
,
0
,
c
,
d
)
(
u
)
=
d
⋅
e
i
π
c
d
u
2
x
(
d
u
)
,
{\displaystyle X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,}
當 b = 0.
且
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
行列式 限制條件來表示，如同矩陣
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
根據上述公式，菲涅爾轉換為線性標準轉換的一個特例，表示形式為：
U
o
(
x
,
y
)
=
−
i
λ
e
i
k
z
z
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
U
i
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
2
z
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle U_{o}(x,y)=-\ {\frac {i}{\lambda }}{\frac {e^{ikz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}\ dx'dy'}
其中，
λ
{\displaystyle \lambda }
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
z
{\displaystyle z}
我們亦可把菲涅爾轉換當成是兩個一維的線性標準轉換的合成，表示如下：
U
o
(
x
,
y
)
=
e
i
k
z
1
j
λ
z
∫
−
∞
∞
e
i
k
2
z
(
y
−
y
′
)
2
1
j
λ
z
∫
−
∞
∞
U
i
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
2
z
(
x
−
x
′
)
2
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle U_{o}(x,y)=\ e^{ikz}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i{\frac {k}{2z}}(y-y')^{2}}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x-x')^{2}}\ dx'dy'}
若以矩陣形式來看，則為
[
a
b
c
d
]
=
[
1
λ
z
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}}
菲涅爾轉換的其他形式
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菲涅爾轉換的積分式也可以有其他種的表示方式，以達到使用其數學性質的目的，如果我們定義以下的函數：
h
(
x
,
y
,
z
)
=
e
i
k
z
i
λ
z
e
i
k
2
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
這個積分可以被表示成卷積 的形式
E
(
x
,
y
,
z
)
=
E
(
x
,
y
,
0
)
∗
h
(
x
,
y
,
z
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
∗
h
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
,
z
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)\,=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }E(x',y',0)*h(x-x',y-y',z)\ dx'dy'}
換句話說，我們可以將這個電磁波的傳遞，以線性濾波器的模型來表示。這也是為什麼我們一般會將
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
傅立葉轉換
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另外一種常見的變換形式就是傅立葉轉換，如果在積分式中，我們將
k
{\displaystyle k}
λ
{\displaystyle \lambda }
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}
x
,
x
′
,
y
,
y
′
{\displaystyle x,x',y,y'}
(
x
−
x
′
)
2
=
x
2
+
x
′
2
−
2
x
x
′
,
(
y
−
y
′
)
2
=
y
2
+
y
′
2
−
2
y
y
′
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(x-x')^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\(y-y')^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}
那麼我們便可以將此積分式變換為一個二維的傅立葉轉換表示形式，接著，我們使用定義
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle G(p,q)}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
G
(
p
,
q
)
=
F
{
g
(
x
,
y
)
}
≡
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
g
(
x
,
y
)
e
−
i
2
π
(
p
x
+
q
y
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}
其中
p
,
q
{\displaystyle p,q}
波數 的意思，如此一來，將
g
(
x
,
y
)
=
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
π
λ
z
(
x
′
2
+
y
′
2
)
{\displaystyle g(x,y)=E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}}
E
(
x
,
y
,
z
)
=
e
i
k
z
i
λ
z
e
i
π
λ
z
(
x
2
+
y
2
)
F
{
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
π
λ
z
(
x
′
2
+
y
′
2
)
}
|
p
=
x
λ
z
,
q
=
y
λ
z
=
{
h
(
x
,
y
)
}
⋅
G
(
p
,
q
)
|
p
=
x
λ
z
,
q
=
y
λ
z
,
{\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}\left.{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=\left\{h(x,y)\right\}\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}},\end{aligned}}}
換句話說，當我們運用此性質時，先計算
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
(
x
λ
z
,
y
λ
z
)
{\displaystyle {\big (}{\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}{\big )}}
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle h(x,y)}
線性標準轉換 較為類似。
離散一般化菲涅爾轉換
编辑
2006年，由I. Aizenberg和J.T. Astola所發表[3]
2015年，由Xing Ouyang等人發表的"Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution"[4]
^ Light , by Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press^ Optics , Francis Weston Sears, p. 248ff, Addison-Wesley, 1948^ I. Aizenberg and J. Astola, "Discrete generalized Fresnel functions and transforms in an arbitrary discrete basis, " IEEE Trans on Signal Processing, vol. 54, no.11, pp. 4261-4270(2006)
^ X. Ouyang, C. Antony, F. Gunning, H. Zhang, Y. L. Guan, “Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution”; http://arxiv.org/abs/1510.00574 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
![{\displaystyle =z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeca29687ddb31aabef4beeb2b7fe204141da672)
![{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676b9d6665713275969f60676ef3e1e031cb67e3)
![{\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7b9c75d158e375dea02ee0ea13d70fab7f1e07)
![{\displaystyle U_{o}(x,y)=-\ {\frac {i}{\lambda }}{\frac {e^{ikz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}\ dx'dy'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ed23fce540bf0df681a560729527b6eb283550)
