辛標記

在哈密頓力學裏，因為哈密頓方程式對於廣義坐標 $\mathbf {q} \,\!$ 與廣義動量 $\mathbf {p} \,\!$ 的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示：

${\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\,\!$ ，

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\,\!$ ；

這裏， ${\mathcal {H}}\,\!$ 是哈密頓量。

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫尔曼·外尔提出的。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏或編結的意思；用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。

設定一個 $2N\times 1\,\!$ 的豎矩陣 ${\boldsymbol {\xi }}\,\!$ :

${\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]\,\!$ ；

此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量、$T\,\!$ 代表轉置運算。我們也可以將 ${\boldsymbol {\xi }}\,\!$ 視為一個向量。

定義辛矩陣 ${\boldsymbol {\Omega }}\,\!$ 為一個斜對稱的 $2N\times 2N\,\!$ 方塊矩陣：

${\boldsymbol {\Omega }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {1} \\-\mathbf {1} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}\,\!$ ；

這裏，${\boldsymbol {\Omega }}\,\!$ 是由 4 個 $N\times N\,\!$ 零矩陣$\mathbf {0}$與單位矩陣$\mathbf {1}$組成。

這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

${\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!$ 。

正則變換

正則變換是一種正則坐標的改變，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。所以，使用正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 ${\boldsymbol {\xi }}\,\!$ 改變成新正則坐標 ${\boldsymbol {\Xi }}\,\!$ ， ${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}\,\!$ ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 ${\mathcal {H}}\,\!$ 改變成新的哈密頓量 ${\mathcal {K}}\,\!$ ，${\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}\,\!$ ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\,\!$ 。

帕松括號

在相空间中，用正則座標 $\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!$ ，两个函数$f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\,\!$ 的泊松括號記作:

${\big [}f,g{\big ]}_{\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)\,\!$ 。

用辛標記，

${\big [}f,g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!$ 。

參閱

• 辛拓撲
• 辛群
• 辛矩陣