体积形式
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从定义可以直接得到每个辛流形M 都是偶数维2n ,这是因为ω n {\displaystyle \omega ^{n}} 是无处为0的形式,辛体积形式 。由此可以得到,每个辛流形是有一个标准的定向 的,并且有一个标准的测度 ,刘维尔测度 (经常重整为ω n / n ! {\displaystyle \omega ^{n}/n!} )。
辛向量空间
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令{ v 1 , … , v 2 n } {\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}} 为R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 的基,在其上定义辛形式ω :
ω ( v i , v j ) = { 1 j − i = n with 1 ⩽ i ⩽ n − 1 i − j = n with 1 ⩽ j ⩽ n 0 otherwise {\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 这样,辛形式简化为二次型 。用I n {\displaystyle I_{n}} 表示n 阶单位矩阵 ,则二次型矩阵Ω将由2n 阶方阵给出:
Ω = ( 0 I n − I n 0 ) . {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}
令Q 为n 维光滑流形,则余切丛 T ∗ Q {\displaystyle T^{*}Q} 的总空间具有自然辛形式,称作庞加莱2形式,或正规辛形式
ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}} 其中( q 1 , … , q n ) {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})} 是Q 上的任意局部坐标,( p 1 , … , p n ) {\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})} 是关于切向量d q 1 , … , d q n {\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}} 的纤维坐标。余切丛是经典力学的自然相空间 。区分上下索引的关键在于流形有没有度量张量 ,黎曼流形 就是这种情况。上下索引在坐标系变换下进行反变与协变变换。“关于切向量的纤维坐标”是说,动量p i {\displaystyle p_{i}} 与速度d q i {\displaystyle dq^{i}} “焊接 ”在一起,表达了速度与动量共线的概念,并相差标量因子。
凯勒流形
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凯勒流形 是具有相容可积复结构的辛流形,构成一类特殊的复流形 ,复代数几何 中有一大类例子。光滑复射影簇 V ⊂ C P n {\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}} 都有辛形式,是射影空间 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 上的富比尼–施图迪形式 的限制。
殆复流形
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具有与ω {\displaystyle \omega } 相容的殆复结构的黎曼流形 称作殆复流形 ,推广了凯勒流形,因为其不一定可积 。也就是说,它们不一定来自流形上的复结构。
拉格朗日及其他子流形
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辛流形( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 的子流形 有几个自然的几何概念:
M 的辛子流形 (可能是任意偶数维)是子流形S ⊂ M {\displaystyle S\subset M} ,且ω | S {\displaystyle \omega |_{S}} 是S 上的辛形式。
迷向子流形 是辛形式限制为零的子流形,即切空间都是环境流形切空间的迷向子空间 。同样,若子流形的切子空间都是余迷向的(迷向子空间的对偶),则子流形也称作余迷向 的。
辛流形( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 的拉格朗日子流形 是辛形式ω {\displaystyle \omega } 对L ⊂ M {\displaystyle L\subset M} 的限制为等于零的子流形,即ω | L = 0 , dim L = 1 2 dim M {\displaystyle \omega |_{L}=0,\ {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M} 。拉格朗日子流形是最大迷向子流形。 辛同胚 的图像在积辛流形( M × M , ω × − ω ) {\displaystyle (M\times M,\ \omega \times -\omega )} 上是拉格朗日子流形。其交显示出光滑流形所不具备的刚性,阿诺德猜想 给出了子流形的贝蒂数 之和作为光滑拉格朗日子流形自交数的下界,而非光滑情形下的欧拉示性数 。
令R x , y 2 n {\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}} 有全局坐标( x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ) {\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})} ,则可将R x , y 2 n {\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}} 赋以规范辛形式
ω = d x 1 ∧ d y 1 + ⋯ + d x n ∧ d y n . {\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.} 有R x n → R x , y 2 n {\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}} 给出的标准拉格朗日子流形。形式ω {\displaystyle \omega } 在R x n {\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}} 为零,因为给定任一对切向量X = f i ( x ) ∂ x i , Y = g i ( x ) ∂ x i , {\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},} 都有ω ( X , Y ) = 0. {\displaystyle \omega (X,Y)=0.} 考虑n = 1 {\displaystyle n=1} 情形,则X = f ( x ) ∂ x , Y = g ( x ) ∂ x , ω = d x ∧ d y {\displaystyle X=f(x)\partial _{x},\ Y=g(x)\partial _{x},\ \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} 。注意,把它展开时
ω ( X , Y ) = ω ( f ( x ) ∂ x , g ( x ) ∂ x ) = 1 2 f ( x ) g ( x ) ( d x ( ∂ x ) d y ( ∂ x ) − d y ( ∂ x ) d x ( ∂ x ) ) {\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))} 项都有因子d y ( ∂ x ) {\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})} ,由定义等于0。
例子:余切丛
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流形的余切丛局部建模在与第一例类似的空间上。可以证明,我们可以粘合这些仿射辛形式,因此该丛形成了辛流形。拉格朗日子流形的一个不太平凡的例子是流形余切丛的零截面。例如,令
X = { ( x , y ) ∈ R 2 : y 2 − x = 0 } . {\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.} 然后可以把T ∗ X {\displaystyle T^{*}X} 表为
T ∗ X = { ( x , y , d x , d y ) ∈ R 4 : y 2 − x = 0 , 2 y d y − d x = 0 } {\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}} 其中我们将符号d x , d y {\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y} 视作R 4 = T ∗ R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}} 的坐标。可以考虑坐标d x = 0 {\displaystyle \mathrm {d} x=0} 、d y = 0 {\displaystyle \mathrm {d} y=0} 的子集,从而得到零截面。这个例子可重复用于由光滑函数f 1 , … , f k {\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}} 及其微分d f 1 , … , d f k {\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}} 的零轨迹(vanishing locus)定义的流形。
例子:参数子流形
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考虑坐标为( q 1 , … , q n , p 1 , … , p n ) {\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})} 的规范空间R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 。R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 的参数子流形是由坐标( u 1 , … , u n ) {\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})} 参数化的曲面,使
q i = q i ( u 1 , … , u n ) p i = p i ( u 1 , … , u n ) {\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})} 若拉格朗日括号 [ u i , u j ] , ∀ i , j {\displaystyle [u_{i},\ u_{j}],\ \forall i,\ j} 都为零,则是拉格朗日子流形。即,是拉格朗日子流形的等价条件是
∀ i , j , [ u i , u j ] = ∑ k ∂ q k ∂ u i ∂ p k ∂ u j − ∂ p k ∂ u i ∂ q k ∂ u j = 0 {\displaystyle \forall i,\ j,\ [u_{i},\ u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0} 这可以通过在拉格朗日子流形L 的条件中展开
∂ ∂ u i = ∂ q k ∂ u i ∂ ∂ q k + ∂ p k ∂ u i ∂ ∂ p k {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}} 来看到。即,辛形式在切流形T L {\displaystyle TL} (所有切向量)上必须为零:
∀ i , j , ω ( ∂ ∂ u i , ∂ ∂ u j ) = 0 {\displaystyle \forall i,\ j,\ \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0} 利用R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 上的规范辛形式简化结果:
ω ( ∂ ∂ q k , ∂ ∂ p k ) = − ω ( ∂ ∂ p k , ∂ ∂ q k ) = 1 {\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1} 而其他的都为零。
由于辛流形上的局部坐标图 具有规范形式,此例表明拉格朗日子流形相对来说不受约束。辛流形的分类由弗洛尔同调 完成,这是莫尔斯理论 在拉格朗日子流形间的映射的作用泛函 中的应用。物理学中,作用量描述了物理系统的时间演化;这里,它可视作对膜动力的描述。
例子:莫尔斯理论
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另一类有用的拉格朗日子流形出现于莫尔斯理论 。给定莫尔斯函数 f : M → R {\displaystyle f:M\to \mathbb {R} } ,且对足够小的ε {\displaystyle \varepsilon } ,可以构造拉格朗日子流形,其由零轨迹V ( ε ⋅ d f ) ⊂ T ∗ M {\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M} 给出。对一般莫尔斯函数,有拉格朗日交,由M ∩ V ( ε ⋅ d f ) = Crit ( f ) {\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)} 给出。
特殊拉格朗日子流形
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凯勒流形 或卡拉比-丘流形 的情形下,可以在M 上选择Ω = Ω 1 + i Ω 2 {\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}} 作为全纯n形式,其中Ω 1 {\displaystyle \Omega _{1}} 是实部,Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}} 是虚部。若对拉格朗日子流形L 的Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}} 为零,则L 是特殊 的。也就是说,限制在L 上实部Ω 1 {\displaystyle \Omega _{1}} 的条件引导了L 上的体积形式。以下例子称作特殊拉格朗日子流形:
超凯勒流形 的复拉格朗日子流形
卡拉比-丘流形的实结构的定点 SYZ猜想 涉及镜像对称 中特殊拉格朗日子流形的研究,见(Hitchin 1999 )。
托马斯-丘猜想 预言,在拉格朗日量的哈密顿迷向类中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形,这等价于流形的深谷范畴 上的布里奇兰稳定性条件 。
拉格朗日纤维
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线性辛流形
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有一个标准“局部”模型,也就是R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} ,其中∀ i = 0 , … , n − 1 , j , k = 0 , … , 2 n − 1 ( k ≠ j + n , j ≠ k + n ) , ω i , n + i = 1 ; ω n + i , i = − 1 ; ω j , k = 0 {\displaystyle \forall i=0,\ldots ,\ n-1,\ j,\ k=0,\ldots ,\ 2n-1(k\neq j+n,\ j\neq k+n),\ \omega _{i,\ n+i}=1;\ \omega _{n+i,\ i}=-1;\ \omega _{j,\ k}=0} 。这是一个线性 辛空间的例子。参看辛向量空间 。一个称为达布定理 的命题表明局部 来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。
拉格朗日纤维
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辛流形M 的拉格朗日纤维 是指所有纤维 都是拉格朗日子流形的纤维 。由于M 是偶数维,所以可取局部坐标( p 1 , … , p n , q 1 , … , q n ) {\displaystyle (p_{1},\ \ldots ,\ p_{n},\ q^{1},\ \ldots ,\ q^{n})} ,由达布定理 ,辛形式ω (至少局部地)可以写成ω = ∑ d p k ∧ d q k {\displaystyle \omega =\sum {\rm {d}}p_{k}\wedge {\rm {d}}q^{k}} ,其中d表示外微分 ,∧表示外积 。这种形式称作庞加莱2形式 或规范2形式。利用这种设置,我们可以局部地将M 看成余切丛 T ∗ R n {\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}} ,拉格朗日纤维则是平凡纤维π : T ∗ R n → R n . {\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.} 这便是规范图像。
拉格朗日映射
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令L 为辛流形( K , ω ) {\displaystyle (K,\ \omega )} 的由浸入 i : L ↪ K {\displaystyle i:\ L\hookrightarrow K} (i 是拉格朗日浸入 )给出的拉格朗日子流形。令π : K ↠ B {\displaystyle \pi :\ K\twoheadrightarrow B} 给出K 的一个拉格朗日纤维,则( π ∘ i ) : L ↪ K ↠ B {\displaystyle (\pi \circ i):\ L\hookrightarrow K\twoheadrightarrow B} 是拉格朗日映射 。π ∘ i {\displaystyle \pi \circ i} 的临界值 集称作焦散线 。
两拉格朗日映射( π 1 ∘ i 1 ) : L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 , ( π 2 ∘ i 2 ) : L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 {\displaystyle (\pi _{1}\circ i_{1}):\ L_{1}\hookrightarrow K_{1}\twoheadrightarrow B_{1},\ (\pi _{2}\circ i_{2}):\ L_{2}\hookrightarrow K_{2}\twoheadrightarrow B_{2}} ,若有微分同胚 σ , τ , n u {\displaystyle \sigma ,\ \tau ,\ nu} 使两式右图交换 、τ 保留辛形式,则称它们拉格朗日等价 。[4] 用符号表示:
τ ∘ i 1 = i 2 ∘ σ , ν ∘ π 1 = π 2 ∘ τ , τ ∗ ω 2 = ω 1 , {\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,} 其中τ ∗ ω 2 {\displaystyle \tau ^{*}\omega _{2}} 表示ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} 对τ 的拉回 。
特例与推广
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辛流形( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 的辛形式ω {\displaystyle \omega } 若是正合 的,则辛流形也是正合 (exact)的。例如,光滑流形的余切丛是正合辛流形。规范辛形式 也正合。
切丛具有殆复结构的意义上,赋予跟辛形式相容的度量 的辛流形是殆凯勒流形 ,但不一定可积。
辛流形是泊松流形 的特例。
度数为k 的多辛流形 (multisymplectic manifold)是具备闭非退化k 形式的流形。[5]
聚辛流形 (polysymplectic manifold)是具有聚辛切值( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)} 形式的勒让德丛,用于哈密顿场论 。[6] 切触流形
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和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形,称为切触流形 。每个2n+1 维切触流形( M , α ) {\displaystyle (M,\ \alpha )} 给出一个2n+2 维辛流形( M × R , d ( e t α ) ) . {\displaystyle (M\times \mathbb {R} ,\ {\rm {d}}(e^{t}\alpha )).}
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参考文献
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Lumist, Ü. , Symplectic Structure , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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