ARMA模型 （英語：A utor egressive m oving a verage model自我迴歸滑動平均模型 ）。是研究时间序列 的重要方法，由自迴歸模型 （简称AR模型）与移动平均模型 （简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究 中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
自我迴歸AR(p )模型
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移动平均MA(q )模型
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X
t
=
μ
+
ε
t
+
∑
i
=
1
q
θ
i
ε
t
−
i
{\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}
移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。
其中 μ 是序列的均值，θ 1 ,..., θ q ε t ε t -1ε t −q白噪声 。 ARMA(p ,q )模型
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ARMA(p ,q )模型中包含了p 個自回归项和q 個移动平均项，ARMA(p ,q )模型可以表示为：
X
t
=
c
+
ε
t
+
∑
i
=
1
p
φ
i
X
t
−
i
+
∑
j
=
1
q
θ
j
ε
t
−
j
{\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\ }
ARMA滞后算子表示法
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有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）
L
{\displaystyle L}
L
i
X
t
=
X
t
−
i
{\displaystyle L^{i}X_{t}=X_{t-i}}
p )模型可以写成为：
ε
t
=
(
1
−
∑
i
=
1
p
φ
i
L
i
)
X
t
=
φ
(
L
)
X
t
{\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}
其中
φ
{\displaystyle \varphi }
多项式
φ
(
L
)
=
1
−
∑
i
=
1
p
φ
i
L
i
{\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}
MA(q )模型可以写成为：
X
t
=
(
1
+
∑
i
=
1
q
θ
i
L
i
)
ε
t
=
θ
(
L
)
ε
t
{\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}
其中θ 表示多项式
θ
(
L
)
=
1
+
∑
i
=
1
q
θ
i
L
i
{\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}
最后，ARMA(p ,q )模型可以表示为：
(
1
−
∑
i
=
1
p
φ
i
L
i
)
X
t
=
(
1
+
∑
i
=
1
q
θ
i
L
i
)
ε
t
{\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}
或者
φ
(
L
)
X
t
=
θ
(
L
)
ε
t
.
{\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,}
若
φ
(
L
)
=
1
{\displaystyle \varphi (L)=1}
θ
(
L
)
=
1
{\displaystyle \theta (L)=1}
相關條目
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