上圖展示了藍色無週期函數s ( x ) {\displaystyle s(x)} ,它只定義在紅色區間[ 0 , P ] {\displaystyle [0,P]} 之上。可以認為傅立葉級數,是對下圖中最初函數的「週期延拓」的分析,傅立葉級數總是週期函數,即使最初函數s ( x ) {\displaystyle s(x)} 不是週期函數。 傅立葉級數可以用不同的形式來表達,下面將週期 為P {\displaystyle P} 的一個週期函數 s ( x ) , x ∈ R {\textstyle s(x),\ x\in \mathbb {R} } 表達為不同形式的傅立葉級數。
正弦-餘弦形式
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人們常用sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} 與cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 的三角級數 來表示s ( x ) {\textstyle s(x)} ,就是將所有n {\displaystyle n} 階諧波 sin ( 2 π n x P ) {\textstyle \sin({\frac {2\pi nx}{P}})} 與cos ( 2 π n x P ) {\textstyle \cos({\frac {2\pi nx}{P}})} ,乘以其各自在s ( x ) {\textstyle s(x)} 中的權重 ,求得它們的總和 ;這些n {\displaystyle n} 階諧波的權重稱爲傅立葉級數係數,它們可以藉由如下積分來獲得:
傅立葉級數係數
A 0 = 1 P ∫ P s ( x ) d x A n = 2 P ∫ P s ( x ) cos ( 2 π n x P ) d x for n ≥ 1 B n = 2 P ∫ P s ( x ) sin ( 2 π n x P ) d x for n ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}
(Eq.1 )
符號∫ P {\textstyle \int _{P}} 表示在選定區間 上的積分,典型的選擇為[ − P / 2 , P / 2 ] {\displaystyle [-P/2,P/2]} 或者[ 0 , P ] {\displaystyle [0,P]} 。注意A 0 {\displaystyle A_{0}} 是函數s ( x ) {\displaystyle s(x)} 的平均值 [A] ,這個性質擴展到了類似的轉換比如傅立葉轉換 。
通過這些係數定義傅立葉級數為:
傅立葉級數,正弦-餘弦形式
s ( x ) ∼ A 0 + ∑ n = 1 ∞ ( A n cos ( 2 π n x P ) + B n sin ( 2 π n x P ) ) {\displaystyle s(x)\sim A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)+B_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\right)}
(Eq.2 )
這裡使用符號∼ {\displaystyle \sim } ,表示傅立葉級數的求和不一定總是等於s ( x ) {\displaystyle s(x)} 。普遍來說n {\displaystyle n} 是理論上趨近於無限大的,但是就算趨近於無限大,對所有的x {\displaystyle x} (例如在某一點上不連續),傅立葉級數也不一定收斂到s ( x ) {\textstyle s(x)} 。儘管不收斂的可能性始終存在,在科學和工程領域中經常將Eq. 2 中的∼ {\displaystyle \sim } 直接替代為= {\displaystyle =} 。
在傅立葉級數係數中的整數索引n {\displaystyle n} ,是級數中相應的cos {\displaystyle \cos } 或sin {\displaystyle \sin } ,在這個函數的週期 P {\displaystyle P} 中,形成的圓周 (cycle)的數目。因此對應於A n {\displaystyle A_{n}} 和B n {\displaystyle B_{n}} 的項有著:
波長 等於P n {\displaystyle {\tfrac {P}{n}}} ,並且有著同於x {\displaystyle x} 的單位。
頻率 等於n P {\displaystyle {\tfrac {n}{P}}} ,並且有著x {\displaystyle x} 的倒數單位。指數形式
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下面藉由歐拉公式 e i x = cos x + i sin x {\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x\ } ,將傅立葉級數係數簡化成複數 指數 形式。
根據定義,我們可以得到:
複數傅立葉級數係數
c 0 = A 0 c n = ( A n − i B n ) / 2 for n > 0 c n = ( A − n + i B − n ) / 2 for n < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=A_{0}&\\c_{n}&=(A_{n}-iB_{n})/2\qquad &{\text{for }}n>0\\c_{n}&=(A_{-n}+iB_{-n})/2\qquad &{\text{for }}n<0\end{aligned}}}
(Eq. 3 )
通過將等式Eq. 1 代入Eq. 3 ,可以證實[4] :
複數傅立葉級數係數
c n = 1 P ∫ P s ( x ) e − 2 π i n x P d x for n ∈ Z {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-{\frac {2\pi inx}{P}}}\,dx\qquad {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} }
給定複數傅立葉級數係數,可以用公式復原出A n {\displaystyle A_{n}} 和B n {\displaystyle B_{n}} :
複數傅立葉級數係數
A 0 = c 0 A n = c n + c − n for n > 0 B n = i ( c n − c − n ) for n > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=c_{0}&\\A_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}
通過這些定義,傅立葉級數可以寫為:
傅立葉級數,指數形式
s ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e 2 π i n x P {\displaystyle s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{\frac {2\pi inx}{P}}}
(Eq. 4 )
這是可推廣到複數值域 函數的慣用形式。n {\displaystyle n} 的負數值對應於負頻率 。
複數值函數
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人們習慣將s ( x ) {\textstyle s(x)} 的值域 普遍化到複數 上,設s ( x ) {\textstyle s(x)} 是一個複數值函數,它的實部和虛部,都是實數值函數:
s ( x ) = Re ( s ( x ) ) + i ⋅ Im ( s ( x ) ) , x ∈ R {\displaystyle s(x)=\operatorname {Re} (s(x))+i\cdot \operatorname {Im} (s(x)),\quad x\in \mathbb {R} } 定義c n ≜ c R n + i ⋅ c I n {\displaystyle c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}} 則:
c n = 1 P ∫ P s ( x ) ⋅ e − i 2 π p n x d x = 1 P ∫ P Re ( s ( x ) ) ⋅ e − i 2 π p n x d x + i ⋅ 1 P ∫ P Im ( s ( x ) ) ⋅ e − i 2 π p n x d x {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}
c R n = 1 P ∫ P Re ( s ( x ) ) ⋅ e − i 2 π p n x d x {\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}
c I n = 1 P ∫ P Im ( s ( x ) ) ⋅ e − i 2 π p n x d x {\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx} 對於這個複數值函數,它的傅立葉級數的實部,是它的實部的傅立葉級數;它的傅立葉級數的虛部,是它的虛部的傅立葉級數:
s ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ ( c R n + i ⋅ c I n ) ⋅ e i 2 π p n x = ∑ n = ∞ ∞ c R n ⋅ e i 2 π p n x + i ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ c I n ⋅ e i 2 π p n x {\displaystyle s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}=\sum _{n=\infty }^{\infty }c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}+i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}} 振幅-相位形式
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還可以利用三角恆等式 cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\displaystyle \ \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \,} ,把正弦-餘弦形式中後面的正弦函數跟餘弦函數合併起來:
A n ⋅ cos ( 2 π n P x − φ n ) ≡ A n cos ( φ n ) ⏟ a n ⋅ cos ( 2 π n P x ) + A n sin ( φ n ) ⏟ b n ⋅ sin ( 2 π n P x ) {\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)} 然後定義振幅 A n ≜ a n 2 + b n 2 {\textstyle A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}} ,相位 φ n ≜ arctan2 ( b n , a n ) {\textstyle \varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})} ,這裡的a n {\displaystyle a_{n}} 和b n {\displaystyle b_{n}} 對應正弦-餘弦形式中A n {\displaystyle A_{n}} 和B n {\displaystyle B_{n}} 。A 0 2 {\displaystyle {\tfrac {A_{0}}{2}}} 是s ( x ) {\displaystyle s(x)} 的平均值 1 P ∫ P s ( x ) d x {\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx} 。
傅立葉級數,振幅-相位形式
s ( x ) ∼ A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n ⋅ cos ( 2 π n P x − φ n ) {\displaystyle s(x)\sim {\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}
(Eq. 5 )
部份求和算子
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在描述傅立葉級數行為的時候,經常會為一個函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 介入部份求和 算子S N {\displaystyle S_{N}} [5] :
S N ( f ) = ∑ n = − N N c n e 2 π i n x P {\displaystyle S_{N}(f)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\frac {2\pi inx}{P}}}
(Eq. 6 )
這裡的c n {\displaystyle c_{n}} 是f {\displaystyle f} 的傅立葉係數。不同於微積分中的級數,傅立葉級數的部份求和必須採用對稱形式,否則收斂結果可能不成立。
假設f ( x ) {\displaystyle f(x)} 與g ( x ) {\displaystyle g(x)} 是在R {\textstyle \mathbb {R} } 上的可積函數,f ( x ) {\displaystyle f(x)} 與g ( x ) {\displaystyle g(x)} 在[ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 的捲積 ( f ∗ g ) ( x ) {\displaystyle (f*g)(x)} 為:
( f ∗ g ) ( x ) = ∫ − π π f ( τ ) g ( x − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )g(x-\tau )d\tau } 週期為2 π {\displaystyle 2\pi } 的函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的傅立葉級數的部份求和 ,可以經由f ( x ) {\displaystyle f(x)} 與狄利克雷核 D n ( x ) = ∑ k = − n n e i k x {\textstyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}} 的摺積 來表示:
S N ( f ) ( x ) = ∑ n = − N N c n e i n x = ∑ n = − N N ( 1 2 π ∫ − π π f ( τ ) e − i n τ d τ ) ⋅ e i n x = 1 2 π ∫ − π π f ( τ ) ( ∑ n = − N N e i n ( x − τ ) ) d τ = 1 2 π ( f ∗ D N ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )e^{-in\tau }d\tau \right)\cdot e^{inx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )\left(\sum _{n=-N}^{N}e^{in(x-\tau )}\right)d\tau \\&={\frac {1}{2\pi }}(f*D_{N})(x)\end{aligned}}} 收斂性概要
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s N ( x ) {\displaystyle s_{N}(x)} 在[ x 0 , x 0 + P ] {\displaystyle [x_{0},\ x_{0}+P]} 近似了s ( x ) {\displaystyle s(x)} ,該近似程度會隨著N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } 逐漸改善。這個無窮和 s ∞ ( x ) {\displaystyle s_{\infty }(x)} 叫做 s {\displaystyle s} 的傅立葉級數表示。傅立葉級數的收斂性取決於函數有限數量的極大值和極小值,這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件 。參見傅立葉級數的收斂性 之一。對於廣義函數或分布也可以用範數或弱收斂 定義傅立葉係數。在s ( x ) {\displaystyle s(x)} 的不可導 點上,如果我們只取無窮級數中的有限項求和,那麼在這些點上會有幅度不隨N {\displaystyle N} 增大而持續變小的起伏,這叫做吉布斯現象 ,一個簡單的例子是方波訊號 。
在工程 應用中,一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂,原因是工程上遇到的函數比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地,傅立葉級數絕對收斂 且均勻收斂 於s ( x ) {\displaystyle s(x)} ,只要在s ( x ) {\displaystyle s(x)} 的導數(或許不會處處存在)是平方可積的[6] 。如果一個函數在區間[ x 0 , x 0 + P ] {\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]} 上是平方可積 的,那麼此傅立葉級數在幾乎處處 的點都收斂於該函數。
一個相同幅度和頻率的鋸齒波的近似的可視化
另一個分別採用傅立葉級數的前 1, 2, 3, 4 項近似方波的可視化。(可以在這裡
[7] 看到一個交互式的動畫)
其他常用表示法
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符號c n {\displaystyle c_{n}} 在討論多個不同函數的傅立葉係數時是不夠用的。因此習慣上將其替代為函數(這裡是函數s {\displaystyle s} )的某種修改形式,即採用函數式符號比如s ^ [ n ] {\displaystyle {\hat {s}}[n]} 或S [ n ] {\displaystyle S[n]} ,來替代下標式符號:
s ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ s ^ ( n ) ⋅ e 2 π i n x / P {\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{2\pi inx/P}\quad } 常用的數學符號
s ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ e i 2 π n x / P {\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\quad } 常用的工程符號在工程上,特別是在變量x {\displaystyle x} 表示時間的時候,係數序列叫做頻域 表示。經常使用方括號來強調這個函數的定義域是頻率 的離散集合。
另一個常用頻域表示,使用傅立葉級數係數,調製 像梳子一樣的狄拉克取樣函數 :
S ( f ) ≜ ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ δ ( f − n P ) {\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)} 這裡的f {\displaystyle f} 表示連續頻域。在變量x {\displaystyle x} 以秒為單位的時候,f {\displaystyle f} 以赫茲 為單位。取樣的間隔為基本頻率 1 P {\displaystyle {\tfrac {1}{P}}} 的n {\displaystyle n} 倍(即為諧波 )。 s ∞ ( x ) {\displaystyle s_{\infty }(x)} 可以通過逆傅立葉轉換 從這種表示恢復出來:
F − 1 { S ( f ) } = ∫ − ∞ ∞ ( ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ δ ( f − n P ) ) e i 2 π f x d f = ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ ∫ − ∞ ∞ δ ( f − n P ) e i 2 π f x d f = ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ e i 2 π n x / P ≜ s ∞ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x)\end{aligned}}} 構造出的函數S ( f ) {\displaystyle S(f)} ,因而通常稱為「傅立葉轉換 」,即使一個週期函數的傅立葉積分在這個諧波頻率上不收斂[B] 。
常用的傅立葉級數
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基本性質
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對稱性質
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一個簡單的傅立葉級數
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鋸齒波 週期函數的圖 前五個部分傅立葉級數的動態圖 我們現在用上面的公式給出一個簡單函數的傅立葉級數展開式。考慮一個鋸齒波:
s ( x ) = x π , f o r − π < x < π {\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi }
s ( x + 2 π k ) = s ( x ) , f o r − ∞ < x < ∞ and k ∈ Z {\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} } 在這種情況下,傅立葉級數為:
A n = 1 π ∫ − π π s ( x ) cos ( n x ) d x = 0 , n ≥ 0 B n = 1 π ∫ − π π s ( x ) sin ( n x ) d x = − 2 π n cos ( n π ) + 2 π 2 n 2 sin ( n π ) = 2 ( − 1 ) n + 1 π n , n ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}} 可以證明,當s {\displaystyle s} 可微時,傅立葉級數在每個點x {\displaystyle x} 都收斂於s ( x ) {\displaystyle s(x)} ,於是:
s ( x ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ ( A n cos ( n x ) + B n sin ( n x ) ) = 2 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n sin ( n x ) , f o r x − π ∉ 2 π Z {\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right)\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}
(Eq.1 )
當x = π {\displaystyle x=\pi } 時,傅立葉級數收斂於0 {\displaystyle 0} ,為在x = π {\displaystyle x=\pi } 處s {\displaystyle s} 的左極限和右極限之和的一半。這是傅立葉級數的狄利克雷定理 的特例。
這個例子為我們引出了巴塞爾問題 的一種解法。
傅立葉誘導
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金屬板內的熱分布,使用傅立葉方法求解 在上例中我們的函數的傅立葉級數展開式看起來不比s ( x ) = x π {\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}} 簡單,因此人們需要傅立葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用,我們舉用傅立葉誘導解熱方程式 的例子。考慮邊長為π {\displaystyle \pi } 米的方形金屬版,坐標為( x , y ) ∈ [ 0 , π ] × [ 0 , π ] {\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]} 。如果板內沒有熱源,並且四個邊中三個都保持在0 {\displaystyle 0} 攝氏度,而第四條邊y = π {\displaystyle y=\pi } ,對於x ∈ ( 0 , π ) {\displaystyle x\in (0,\pi )} ,保持在溫度梯度T ( x , π ) = x {\displaystyle T(x,\pi )=x} 攝氏度。在這種情況下,穩態(或者說很長時間過後的)熱分布函數T ( x , y ) {\displaystyle T(x,y)} 不能得出解析解 ,但卻可以證明:
T ( x , y ) = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n sin ( n x ) sinh ( n y ) sinh ( n π ) {\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}} 這裡的sinh {\displaystyle \sinh } 是雙曲正弦 函數。熱方程式的這個解是通過將π s ( x ) {\displaystyle \pi s(x)} 的傅立葉級數的每一項乘以sinh ( n y ) sinh ( n π ) {\displaystyle {\tfrac {\sinh(ny)}{\sinh(n\pi )}}} 得到的。儘管示例的函數s ( x ) {\displaystyle s(x)} 的傅立葉級數似乎很複雜,用傅立葉的方法卻可以求解這個熱分布問題。
其他例子
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我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式 ,或是構造處處連續處處不可微的函數。
至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件,但是對於實際問題中出現的函數,有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的可微性或級數的均勻收斂性 。在閉區間上滿足狄利克雷條件 的函數表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下:
在定義區間上,x ( t ) {\displaystyle x(t)} 須絕對可積 ;
在任一有限區間中,x ( t ) {\displaystyle x(t)} 只能取有限個極值點;
在任何有限區間上,x ( t ) {\displaystyle x(t)} 只能有有限個第一類間斷點 。 滿足以上條件的x ( t ) {\displaystyle x(t)} 傅立葉級數都收斂,且:
1.當t {\displaystyle t} 是x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的連續點時,級數收斂於x ( t ) {\displaystyle x(t)} ;
2.當t {\displaystyle t} 是x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的間斷點時,級數收斂於1 2 [ x ( t − ) + x ( t + ) ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]} 。 1966年,里納特·卡爾松 證明了勒貝格二次可積 函數的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的,即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。
傅立葉級數收斂證明
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假設一個函數在f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在[ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} 上是平方可積,則會有:
1 2 π ∫ 0 2 π | f ( x ) − S N ( f ) ( x ) | 2 d x → 0 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0} 當N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } 證明的第一步:
考慮一系列正交基底,{ e n } n ∈ Z {\displaystyle \{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }} ,其中e n ( x ) = e − i n x {\displaystyle e_{n}(x)=e^{-inx}} ,且有
( e n , e m ) = { 1 , if n = m 0 , if n ≠ m {\displaystyle (e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}} 然後有( f , e n ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( x ) e − i n x d x = f ^ ( n ) {\displaystyle (f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)}
特別的有,f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的傅立葉級數的部分和S N ( f ) ( x ) = ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n {\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}}
然後根據f = f − ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n + ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n {\displaystyle f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}} 以及畢氏定理,可以有:
| | f | | 2 = | | f − ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n | | 2 + | | ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n | | 2 {\displaystyle ||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}} 替換一下後有 | | f | | 2 = | | f − S N ( f ) ( x ) | | 2 + | | ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n | | 2 {\displaystyle ||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}} 如果右邊第一項收斂到0,再根據正交的性質,可以看出上述式子中的右手邊第二項:
| | ∑ | n | ≤ N f ^ ( n ) e n | | 2 = ∑ | n | ≤ N | f ^ ( n ) | 2 {\displaystyle ||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}} ,這就證明了帕塞瓦爾定理 。證明的第二步:
回到證明右邊第一項,因為函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 可積,找到一個連續函數g ( x ) {\displaystyle g(x)} ,然後根據最佳逼近引理,可以找到一個三角多項式p(x),使得
| f − S N ( f ) ( x ) | ≤ | f ( x ) − g ( x ) | + | g ( x ) − S N ( f ) ( x ) | {\displaystyle |f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|} 故當N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } ,函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 跟S N ( f ) ( x ) {\displaystyle S_{N}(f)(x)} 的差為0。
其他性質
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傅立葉級數的唯一性
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如果有一個定義在[ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 的函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 和g ( x ) {\displaystyle g(x)} ,其中函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 和g ( x ) {\displaystyle g(x)} 的傅立葉係數f ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f}}(n)} 還有g ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {g}}(n)} 相同,且傅立葉級數都收斂到函數本身,那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性,也就是f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} 。換句話說,如果函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在[ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 上可積,傅立葉係數f ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f}}(n)} 為0,對所有的n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ,那麼函數f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0}
摺積定理
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給定週期為P {\displaystyle P} 的函數s P {\displaystyle s_{_{P}}} 和r P {\displaystyle r_{_{P}}} ,它們具有傅立葉級數係數S [ n ] {\displaystyle S[n]} 和R [ n ] {\displaystyle R[n]} ,這裡的n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 。
逐點乘積 h P ( x ) ≜ s P ( x ) ⋅ r P ( x ) {\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)} ,也是週期為P {\displaystyle P} ,並且它的傅立葉級數係數是序列S {\displaystyle S} 和R {\displaystyle R} 的離散摺積 :H [ n ] = ( S ∗ R ) [ n ] {\displaystyle H[n]=(S*R)[n]} 。
週期摺積 h P ( x ) ≜ ( s P ∗ r ) ( x ) = ( s ∗ r P ) ( x ) = ∫ P s P ( τ ) ⋅ r P ( x − τ ) d τ {\textstyle h_{_{P}}(x)\triangleq (s_{_{P}}*r)(x)=(s*r_{_{P}})(x)=\int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau } ,也是週期為P {\displaystyle P} ,它具有傅立葉級數係數:H [ n ] = P ⋅ S [ n ] ⋅ R [ n ] {\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n]} 。
在c 0 ( Z ) {\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )} 中的雙無限序列 { c n } n ∈ Z {\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}} ,是在L 1 ( [ 0 , 2 π ] ) {\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])} 中的傅立葉係數的序列,若且唯若它是在ℓ 2 ( Z ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )} 中的兩個序列的摺積 [11] 。 微分性質
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我們說f ( x ) {\displaystyle f(x)} 屬於在C k ( T ) {\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 如果f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是一個在實數上以2 π {\displaystyle 2\pi } 為週期的函數,且k {\displaystyle k} 次可微而且k {\displaystyle k} 階連續。
如果f ( x ) {\displaystyle f(x)} 屬於在C 1 ( T ) {\displaystyle C^{1}(\mathbb {T} )} ,那麼f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 傅立葉係數f ′ ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f'}}(n)} 可以被用f ( x ) {\displaystyle f(x)} 傅立葉係數f ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f}}(n)} 的表示,藉由公式f ′ ^ ( n ) = i n f ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)} 如果f ( x ) {\displaystyle f(x)} 屬於在C k ( T ) {\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )} ,f ( k ) ^ ( n ) = ( i n ) k f ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)} 。特別的,當固定k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ,我們有f ( k ) ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)} 趨近於0當n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } ,且有f ( k ) ^ ( n ) = O ( 1 / n k ) {\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})} 。 黎曼-勒貝格定理
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如果S {\displaystyle S} 是可積函數 ,則lim | n | → ∞ S [ n ] = 0 {\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0} ,lim n → + ∞ a n = 0 {\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0} 而lim n → + ∞ b n = 0 {\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0} 。
帕塞瓦爾定理
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如果函數f ( x ) {\displaystyle f(x)} 屬於在L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])} 之中,那麼便有∑ − ∞ ∞ | f ^ ( n ) | 2 = 1 2 π ∫ − π π | f ( x ) | 2 d x = | | f | | {\textstyle \sum _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=||f||} 。
普朗歇爾定理
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如果c 0 , c ± 1 , c ± 2 , … {\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots } 是係數,並且∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 < ∞ {\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty } ,則有一個唯一的函數s ∈ L 2 ( P ) {\displaystyle s\in L^{2}(P)} 使得對於所有n {\displaystyle n} 有著S [ n ] = c n {\displaystyle S[n]=c_{n}} 。
希爾伯特空間的解讀
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正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分,當m 與n 不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消),唯若m 和n 相等並且函數相同時為π。 所謂的兩個不同向量 正交是指它們的內積 為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性獨立 的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。
在希爾伯特空間 釋義下,函數的集合{en = einx ; n ∈ Z }是[−π, π]平方可積函數L 2 ([−π, π])的正交基 。這個空間實際上是一個希爾伯特空間,有著針對任何兩個的元素f 和g 的如下內積:
⟨ f , g ⟩ = d e f 1 2 π ∫ − π π f ( x ) g ( x ) ¯ d x . {\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.} 三角函數族的正交性用公式表示出來就是:
∫ − π π cos ( m x ) cos ( n x ) d x = π δ m n , m , n ≥ 1 , {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,}
∫ − π π sin ( m x ) sin ( n x ) d x = π δ m n , m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1} (這裡的δmn 是克羅內克函數 ),而
∫ − π π cos ( m x ) sin ( n x ) d x = 0 ; {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,}
^ 一些作者定義了與此不同的A 0 {\displaystyle A_{0}} ,使得可以用相同的積分定義A 0 {\displaystyle A_{0}} 和A n {\displaystyle A_{n}} 。這改變了Eq. 2 使得第一項需要除以2 {\displaystyle 2} 。
^ 因為週期函數的傅立葉轉換的積分定義不是收斂的,需要將週期函數和它的轉換視為分布 。在這種意義上,F { e i 2 π n x P } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i{\frac {2\pi nx}{P}}}\}} 是一個狄拉克δ函數 ,它是分布的是例子。
^ 詳見莫里斯·克萊因 《古今數學思想》,第20章無窮級數,第5節三角級數;第28章十九世紀的偏微分方程式,第5節熱方程式與傅立葉級數。see here, pg.s 209 & 210, (頁面存檔備份 ,存於網際網路檔案館 )
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延伸閱讀
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電機電子類科《工程數學》,ISBN 978-957-584-377-9 ,作者 陳錫冠、曾致煌,高立出版社。
外部連結
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