柴比雪夫多項式

柴比雪夫多項式（Chebyshev polynomials）是與棣美弗定理有關，以遞迴定義的一系列正交多項式序列。 通常，第一類柴比雪夫多項式以符號T_n表示， 第二類柴比雪夫多項式用U_n表示。柴比雪夫多項式 T_n 或 U_n 代表 n 階多項式。

柴比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類柴比雪夫多項式的根（被稱為柴比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。

在微分方程式的研究中，柴比雪夫提出柴比雪夫微分方程式

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

和

$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0$

相應地，第一類和第二類柴比雪夫多項式分別為這兩個方程式的解。 這些方程式是斯圖姆-萊歐維爾微分方程式的特殊情形。

定義

第一類柴比雪夫多項式由以下遞迴關係確定

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,$

也可以用母函數表示

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

第二類柴比雪夫多項式由以下遞迴關係給出

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,$

此時母函數為

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.$

從三角函數定義

柴比雪夫多項式

第一類柴比雪夫多項式由以下三角恆等式確定

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,$

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta \,$ 是關於 $\cos \theta \,$ 的 n次多項式，這個事實可以這麼看： $\cos n\theta \,$是:$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,$的實部（參見棣美弗公式），而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含$\sin \theta \,$的項中，$\sin \theta \,$都是偶數次的，從而可以表示成 $1-\cos ^{2}\theta \,$的冪 。

用顯式來表示

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}$

儘管能經常碰到上面的表達式，但如果藉助於複函數cos(z), cosh(z)以及他們的反函數，則有

${\begin{matrix}T_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\ ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

類似，第二類柴比雪夫多項式滿足

$U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

以佩爾方程式定義

柴比雪夫多項式可被定義為佩爾方程式

$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!$

在多項式環R[x] 上的解(e.g., 見 Demeyer (2007), p.70). 因此它們的表達式可通過解佩爾方程式而得出:

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!$

遞迴公式

兩類柴比雪夫多項式可由以下雙重遞迴關係式中直接得出:

$T_{0}(x)=1$

$U_{-1}(x)=1$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

$U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)$

證明的方式是在下列三角關係式中用$\cos \vartheta$ 代替$x$

$T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )={}$$\cos((n+1)\vartheta )={}$$\cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}$$T_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}$$xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

正交性

T_n 和U_n 都是區間[−1,1] 上的正交多項式系.

第一類柴比雪夫多項式帶權

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

即:

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.$

可先令x= cos(θ) 利用 T_n (cos(θ))=cos(nθ)便可證明.

類似地，第二類柴比雪夫多項式帶權

${\sqrt {1-x^{2}}}$

即:

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}$

其正交化後形成的隨機變數是 Wigner 半圓分布).

基本性質

對每個非負整數$n$， $T_{n}(x)$ 和 $U_{n}(x)$ 都為 $n$次多項式。 並且當$n$為偶（奇）數時，它們是關於$x$ 的偶（奇）函數， 在寫成關於$x$的多項式時只有偶（奇）次項。

$n\geq 1$時，$T_{n}$ 的最高次項係數為 $2^{n-1}$ ，$n=0$時係數為$1$ 。

最小零偏差

對$n\geq 1$，在所有最高次項係數為1的$n$次多項式中 ， $f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)$ 對零的偏差最小，即它是使得$f(x)$在$[-1,1]$ 上絕對值的最大值最小的多項式。 其絕對值的最大值為${\frac {1}{2^{n-1}}}$ ， 分別在$-1$ 、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n-1$ 個極值點上達到 。

兩類柴比雪夫多項式間的關係

兩類柴比雪夫多項式間還有如下關係：

${\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots$

$T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,$

$T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).$

柴比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例, 後者是雅可比多項式的特例.

柴比雪夫多項式導數形式的遞迴關係可以由下面的關係式推出：

$2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,2,\ldots$

例子

前六個第一類柴比雪夫多項式的圖像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ T₅.

前幾個第一類柴比雪夫多項式是

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

前六個第二類柴比雪夫多項式的圖像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ U₅. 雖然圖像中無法顯示,我們實際有 U_n(1)=n+1 以及 U_n(-1)=(n+1)(-1)ⁿ.

前幾個第二類柴比雪夫多項式是

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,$

第一類柴比雪夫多項式前幾階導數是

$T_{n}'(1)=n^{2}\,$

$T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2}\,$

$T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,$

$T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3\,$

按柴比雪夫多項式的展開式

一個N 次多項式按柴比雪夫多項式的展開式為如下：

$p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)$

多項式按柴比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw遞推公式計算。

柴比雪夫根

兩類的n次柴比雪夫多項式在區間[−1,1]上都有n 個不同的根, 稱為柴比雪夫根, 有時亦稱做 柴比雪夫節點 ，因為是多項式插值時的 插值點 . 從三角形式中可看出T_n 的n個根分別是：

$x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.$

類似地， U_n 的n個根分別是：

$x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.$

參看

• 柴比雪夫節點
• 柴比雪夫濾波器

參考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.