在線性代數中,對稱矩陣(英語:symmetric matrix)指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。
線性代數
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線(左上至右下)為軸進行對稱。若將其寫作,則對所有的i和j,
下列是3×3的對稱矩陣:
- 對於任何方形矩陣 , 是對稱矩陣。
- 為方形矩陣是 為對稱矩陣的必要條件,即對稱矩陣行數必等於列數。
- 對角矩陣都是對稱矩陣。
- 若且唯若兩者的乘法可交換(即 )時,兩個對稱矩陣的積( )是對稱矩陣。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。[來源請求]
- 任何方形矩陣 ,如果它的元素屬於一個特徵不為2的域(例如實數),可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和:
-
- 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積,每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
- 若對稱矩陣 的每個元素均為實數, 是實對稱矩陣。
- 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
- 如果X是對稱矩陣,那麼 也是對稱矩陣.
實對稱矩陣
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黑塞矩陣
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實對稱n × n矩陣出現在二階連續可微的n元函數的黑塞矩陣之中。
Rn上的每一個二次型q都可以唯一寫成q(x) = xTAx的形式,其中A是對稱的n × n矩陣。於是,根據譜定理,可以說每一個二次型,不考慮Rn的正交基的選擇,「看起來像」:
-
其中λi是實數。這大大簡化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它們是圓錐曲線的推廣。
這是很重要的,部分是由於每一個光滑的多元函數的二階表現,都由屬於該函數的黑塞矩陣的二次型描述;這是泰勒定理的一個結果。
可對稱化矩陣
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與不等式的關係
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對稱陣 Z 分解為3行3列:
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若且唯若
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時, 存在 , 使得
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成立。
參考文獻
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- ^ A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471.