最短路問題
最短路徑問題是圖論研究中的一個經典演算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。演算法具體的形式包括：
- 確定起點的最短路徑問題 - 也叫單源最短路問題，即已知起始結點，求最短路徑的問題。在邊權非負時適合使用Dijkstra演算法，若邊權為負時則適合使用Bellman-ford演算法或者SPFA演算法。
- 確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
- 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。
- 全域最短路徑問題 - 也叫多源最短路問題，求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall演算法。
用於解決最短路徑問題的演算法被稱做「最短路徑演算法」，有時被簡稱作「路徑演算法」。最常用的路徑演算法有：
- Dijkstra演算法
- A*演算法
- Bellman-Ford演算法
- SPFA演算法（Bellman-Ford演算法的改進版本）
- Floyd-Warshall演算法
- Johnson最短路演算法
- 雙向搜尋
單源最短路徑演算法 編輯
無向圖 編輯
| 權值要求 | 時間複雜度 | 作者 |
|---|---|---|
| ℝ+ | Dijkstra 1959 | |
| ℝ+ | Johnson 1977 (二元堆積) | |
| ℝ+ | Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆) | |
| ℕ | Thorup 1999 (要求常數時間複雜度的乘法)。 |
無權圖 編輯
| 演算法 | 時間複雜度 | 作者 |
|---|---|---|
| 廣度優先搜尋 | Konrad Zuse 1945,Moore 1959 |
有向無環圖 編輯
使用拓撲排序演算法可以在有權值的DAG中以線性時間（ ）求解單源最短路徑問題。
無負權的有向圖 編輯
假設邊緣權重均為整數。
| 演算法 | 時間複雜度 | 作者 |
|---|---|---|
| O(V 2EL) | Ford 1956 | |
| Bellman–Ford 演算法 | O(VE) | Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959 |
| O(V 2 log V) | Dantzig 1960 | |
| Dijkstra's 演算法（列表） | O(V 2) | Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960 |
| Dijkstra's 演算法（二元堆積） | O((E + V) log V) | Johnson 1977 |
| …… | …… | …… |
| Dijkstra's 演算法（斐波那契堆） | O(E + V log V) | Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987 |
| O(E log log L) | Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983 | |
| Gabow's 演算法 | O(E logE/V L) | Gabow 1983, Gabow 1985 |
| Ahuja et al. 1990 | ||
| Thorup | O(E + V log log V) | Thorup 2004 |
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