配方法(英語:Completing the square),是初等代數中一種簡化計算的技巧,可以用來解二次方程式、判別解析幾何中某些多項式的圖形,或者用來計算微積分學中的某些積分型式等。
將下方左邊的多項式化成右邊的形式,就是配方法的目標:
- ,其中和是常數。
幾何學的觀點
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一般公式
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為了得到 我們設
-
得出
注意 。為了把 化為 的形式,我們必須進行以下的代換:
-
現在, 、 和 依賴於 、 和 ,因此我們可以把 、 和 用 、 和 來表示:
-
若且唯若 等於零且 是正數時,這些方程式與以上是等價的。如果 是負數,那麼 和 的表達式中的±號都表示負號──然而,如果 和 都是負數的話,那麼 的值將不受影響,因此 號是不需要的。
具體例子
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-
從中我們可以求出多項式為零時 的值,也就是多項式的根。
-
我們也可以求出 取得什麼值時,以下的多項式為最大值或最小值:
最高次數的項 的係數為正,因此 的絕對值越大, 就越大。但是, 有一個最小值,在任何地方都不能比它更小。從完全平方的形式中, ,我們可以看到,如果 ,那麼 ;但如果 是任何其它的數, 都是 加上一個非零的平方數。由於非零實數的平方都是正數,因此當 不為 時, 一定大於−8.45。所以, 就 的最小值。
微積分例子
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假設我們要求出以下函數的原函數:
這可以用把分母配方來完成。分母是: 把兩邊 加上 ,就可以得到一個完全平方, 。分母變為:
-
因此積分為:
-
複數例子
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考慮以下的表達式:
其中 和 是複數, 和 分別是 和 的共軛複數, 是一個實數。利用恆等式 ,我們可以把它寫成: 這顯然是一個實數。這是因為:
-
作為另外一個例子,以下的表達式
其中 、 、 、 和 是實數, 且 ,可以用一個複數的絕對值的平方來表示。定義 那麼
-
因此
方法的變化
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參考文獻
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外部連結
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