Γ函数

數學中,函数,也叫做伽瑪函數(Gamma函数),是階乘函數在實數複數域上的擴展。如果正整數,則:

Γ函數在實軸上的函數圖形

對於實數部份為正的複數,伽瑪函數定義為:

此定義可以用解析延拓原理,拓展到除去非正整數的整個複數域上。

因為 Γ函數 沒有零點,所以倒數Γ函數是一個整函數,也就是在整個複數上都是有定義的函數。

機率論中很常見到此函數,另外在組合數學中這個函數也非常常見。

在Γ函數的記號上,是源自於勒讓德

動機编辑

Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解:

『找到一個光滑曲線連接那些由   所給定的點 ,並要求 要為正整數』

由前幾個的階乘清楚的表明這樣的曲線是可以被畫出來的,但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線,並讓階乘的操作不會依賴於 值的大小。而最簡單的階乘公式   不能直接應用在應用在 值為有理數的時候,因為它被限定在 值為正整數而已。相對而言,並不存在簡單的階乘解決公式。不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達  ,但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的,而 Γ函數就是那個好公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數:可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇,因為是解析的(除了正整數點),而且它可以被定義成很多種等價形式。然而,它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數,只要給予任何解析函數,其在正整數上為零,像是 k sin mπx,會給出其他函數有著階乘性質。

定義编辑

 函數可以通过尤拉(Euler)第二类积分定義:

 

复数 ,我们要求 

 函數还可以通过对 泰勒展开解析延拓到整个复平面 

这样定义的 函數在全平面除了 以外的地方解析。

 函數也可以用无穷乘积的方式表示:

 

这说明 是亚纯函数,而 是全纯函数

無窮乘積编辑

 函數可以用無窮乘積表示:

 
 

其中 欧拉-马歇罗尼常数

積分编辑

 

 

递推公式编辑

 函数的递推公式为:  

对于正整数 ,有

 

可以说 函数是階乘的推廣。

递推公式的推导编辑

 

我们用分部积分法来计算这个积分:

 

 时, 。当 趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:

 

因此第一项 变成了零,所以:

 

等式的右面正好是 。因此,递推公式为:

 

重要性质编辑

  •  時, 
  • 歐拉反射公式(余元公式):
 
由此可知当 时, 
  • 乘法定理:
 
 
  • 此外:
 
  • 使用乘法定理推導的關係:
 
 
 
 
 
 

[1]

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

  • 極限性質

對任何實數α

 

斯特靈公式编辑

Γ函數與斯特靈公式
 (藍色)、 (橘色),數字越大 會越趨近 。但 會在負值則會因為出現虛數而無法使用。

斯特靈公式能用以估計 函数的增長速度。公式為:

 

其中e約等於2.718281828459。

特殊值编辑

 

导数编辑

Γ函數的微分
Γ函數(藍色)、Γ函數的微分(橘色),其中,大於50與小於-30的部分被截掉。

對任何複數z,滿足 Re(z) > 0,有

 

於是,對任何正整數 m

 

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數

复数值编辑

 

解析延拓编辑

 
Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在 函數的積分定義中若取 為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

 

並注意到函數 在整個複平面上有解析延拓,我們可以在 時設

 

從而將 函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在 有單極點,留數為

 

程式實現编辑

許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数,例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意實数的伽玛函数的值。

  • 例如在EXCEL中:EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在沒有提供Γ函数的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[2],已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位:

 

参见编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Mada, L. Relations of the Gamma function. R code on Github. Code publicly available on Github [Personal Research]. 2020-04-24 [2020-04-24]. Relations of the Gamma function 
  2. ^ Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function (2006) 互联网档案馆存檔,存档日期2005-12-31.

外部链接编辑