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數學中,一致收斂性(或稱均匀收敛)是函數序列的一種收斂定義。其概念可敘述為函數列 fn 一致收斂至函數 f 代表所有的 xfn(x) 收斂至 f(x) 有相同的收斂速度。由於它較逐點收斂更強,故能保持一些重要的分析性質,例如連續性、黎曼可積性。

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定義编辑

 為一集合 為一度量空間。若對一函數序列 ,存在 滿足

對所有 ,存在 ,使得 

則稱 一致收斂到 

最常用的是 的情形,此時條件寫成

對所有 ,存在 ,使得 

注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中 仅与 相关,而在逐点收敛中 还与 相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子编辑

 
在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一:對任何 上的連續函數 ,考慮多項式序列

 

可證明 區間 上一致收斂到函數 。其中的 稱為伯恩斯坦多項式

透過坐标的平移與縮放,可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數,這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

 
逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二:考慮區間 上的函數序列 ,它逐點收斂到函數

 

然而這並非一致收斂。直觀地想像:當 愈靠近 ,使 接近 所需的 便愈大。可以依此想法循定義直接證明,也可以利用下節關於連續的性質證明,因為在此例中 皆連續,而 不連續。

性質编辑

假設 一致收斂到 ,此時有下述性質:

  • 連續性:
  1.  是集合 闭包中的一个元素,且每個 都在 連續,則 也在a上連續。
  2. 若对集合 的每個紧子集 ,每個 都在 連續,則  上連續。
  • 與積分的交換:令  中的開集,  。若每個 都是黎曼可積,則 也是黎曼可積,而且 :在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
  • 與微分的交換:令  中的開集,  。若每個 皆可微,且 一致收斂到函數 ,則 亦可微,且 

文獻编辑

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X