打开主菜单

一致收斂

(重定向自一致收敛

一致收斂或稱均匀收敛,(英語:Uniform convergence),是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成:若函數序列 fn 一致收斂至函數 f,代表對所有定義域中的點 xfn(x) 收斂至 f(x) 會有(大致)相同的收斂速度(所以才會用「均勻」或「一致」來形容這種模式的收歛)。由於它對收斂要求較逐點收斂更強,故能保持一些重要的分析性質,例如連續性、黎曼可積性。

定義编辑

當函數序列中的函數的對應域是    時,此時均勻收歛的定義為:

  是定義在   上,對應域為   的一組函數序列,若序列   均勻收歛至函數   在集合   上,即表示對所有  ,存在  ,使得當所有    時有

 

可將這定義推廣到一般的度量空間:

  為一集合 度量空間。若對一組函數序列  ,存在函數   滿足 對所有  ,存在  ,使得當所有    時有

 

則稱序列   一致收斂到  


注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中  的選取仅与   相关,而在逐点收敛中   还多了与點   相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子编辑

 
在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一:對任何 上的連續函數 ,考慮多項式序列

 

可證明 區間 上一致收斂到函數 。其中的 稱為伯恩斯坦多項式

透過坐标的平移與縮放,可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數,這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

 
逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二:考慮區間 上的函數序列 ,它逐點收斂到函數

 

然而這並非一致收斂。直觀地想像:當 愈靠近 ,使 接近 所需的 便愈大。可以依此想法循定義直接證明,也可以利用下節關於連續的性質證明,因為在此例中 皆連續,而 不連續。

性質编辑

  為一組函數序列,對應域為   ,此時有下述性質:

  • 連續性:若函數序列   均勻收歛至函數  ,則有:
  1. 假設函數序列的定義域是闭包(closure)集合  ,且    的中的一點。若每個   都在  連續,則   也在   點連續。
  2. 若对集合   的每個緊緻子集  ,每個   都在  連續,則    上連續。
  • 積分的交換:令   為定義在緊緻區間   的函數序列,且序列   均勻收歛至函數  。若每個   都是黎曼可積,則   也是黎曼可積,而且
  註:在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
  • 與微分的交換:可微函數序列   均勻收歛至函數  ,並不能保證   是可微的,還需要對該函數序列的微分, ,做些限制,請參看以下定理:
  為定義在閉區間   的可微函數序列,且存在一點   使得極限   存在(且有限)。若序列的微分   在區間   一致收斂到函數  ,則序列   均勻收歛至函數    亦是可微函數,且有:
 

文獻编辑

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X