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一致有界性原理

(重定向自一致有界定理

數學上,一致有界性原理,又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理共鸣定理,是泛函分析的重要結果。定理斷言,對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子,該族算子逐點有界,當且僅當其在算子范数意義下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫雨果·斯坦豪斯英语Hugo Steinhaus於 1927 年發表,亦由漢斯·哈恩獨立證出。

定理內容编辑

XY 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ,都有

 

 

證明编辑

由於 X 完備,利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。

假定對於 X 中的任意一個 x, 都有

 

對任意整數  

 

 閉集,且由假設有

 

貝爾綱定理適用於非空的完备空间 X, 故存在 m 使得  內部非空,即存在  ε > 0 使得

 

uX 滿足 ǁuǁ ≤ 1TF, 則有:

 

使 u 歷遍 X 的單位球,並取遍   得到

 

因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明,例如 (Sokal 2011).

推論编辑

該定理可以推出:若一列有界算子 (Tn) 逐點收斂,即對 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收斂,則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.

注意上述推論並未斷言 Tn 在算子範數的意義下收斂到 T, 即:在有界集上一致收斂。然而,由於 (Tn) 在算子範數意義下有界,且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明,在任意緊集上,均有 Tn 一致收斂到 T.

另一推論為:賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是,可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y連續對偶)上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理,S 的元素(視為 X 的線性泛函)的算子範數(即雙對偶 Y** 上的範數)有界,但由哈恩-巴拿赫定理可知,S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數,等於其於原空間 Y 的範數。

L(XY) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間(賦以算子範數)。若族 FL(XY) 的無界子集,則由一致有界性原理,有:

 

更甚者,RX 中稠密。原因是,RX 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程,每個 Xn无处稠密,故 ∪Xn第一綱集。所以 R貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義,這樣的集(稱為剩餘集)是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理,即:

X 為巴拿赫空間,{Yn} 為一系列賦範空間,FnL(X, Yn) 的無界子集,則集合   為第二綱集,因此在 X 中稠密。

原因是,R 的補集可以寫成第一綱集的可數並

 

因此其剩餘集 R 稠密。

例子:傅立葉級數的逐點收斂编辑

 單位圓   上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理,可以證明   中有一個元素,其傅立葉級數不逐點收斂。

  其傅立葉級數定義為

 

而級數的第 N 階對稱部分和為

 

其中 DN 為第 N狄利克雷核。選定   然後考慮序列 (SN(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函  

 

則 φN,x 有界。而 φN,x  的對偶空間的範數,是帶號測度英语Signed measure (2π)−1DN(xt) dt 的範數,故

 

可以驗證

 

故族 {φN,x} 是   (  的對偶)的無界子集。因此,由一致有界性原理可知,對任意  傅立葉級數於 x 發散的連續函數在   中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (xm) 為   中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理,傅立葉級數於每一個 xm 都發散的連續函數在   中稠密。(然而要注意,根據卡爾松定理英语Carleson's theorem,一個連續函數 f 的傅立葉級數,幾乎於每一點   都收斂到 f(x).

推廣编辑

受最少限制,而類似結論仍然適用的空間,是桶型空間英语Barrelled space。其上的一致有界性原理為(Bourbaki 1987,Theorem III.2.1):

給定桶型空間 X局部凸空間英语locally convex spaceY, 則任意一族由 X 映向 Y 的逐點有界的连续线性算子等度连续

若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的,則結論同樣成立。(Shtern 2001

Dieudonné(1970) 證明了 Fréchet 空間英语Fréchet space上一個較弱的結論:

X 為 Fréchet 空間, Y 為賦範空間,H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合,其滿足對 X 中的任意元素 x

 

則族 H 等度連續。

參見编辑

參考文獻编辑