三乘积法则

三乘积法则triple product rule)是关于偏导数的一个恒等关系式,其表达式为:

注释:每一个变量可视作另外两个变量的函数。偏导数的下标表示在此变量为常数的条件下求导。

三乘积法则用于热力学关系式的推导。例如温度、压力和体积之间的关系满足:

利用三乘积法则,可以将不易测量的关系用容易测得的物理量代替,如:

推导编辑

下面给出一个非正式的推导。设有函数f(x, y, z) = 0。若将z表示为xy的函数,则全微分dz等于

 

dz = 0的轨迹上,xy之间满足

 

于是将dz = 0带入上式,

 

重排得

 

将所有偏导数移到等式左边,

 

此证明假定了偏导数存在,以及全微分dz存在,偏导数不为零从而能取倒数。数学分析的正式证明能避免这些隐含假定。

参见编辑

参考资料编辑

  • Elliott, JR, and Lira, CT. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999. p. 184.
  • Carter, Ashley H. Classical and Statistical Thermodynamics, Prentice Hall, 2001, p. 392.