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三次方程

未知项次数最高为3的整式方程
的圖形

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程一元三次方程一般形式為

其中是屬於一個的數字,通常這個域為RC

本條目只解釋一元三次方程,而且簡稱之為三次方程。

历史编辑

中國唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。

在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如 的方程。事实上,如果我们允许 是複数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道複数。

尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡尔丹诺拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡尔丹诺注意到塔爾塔利亞的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是複数的发现者。

三次方程解法编辑

求根公式法编辑

 
 
 
 

红色字体部分为判别式 

 时,方程有一个实根和两个共轭複根;

 时,方程有三个实根:当

 

时,方程有一个三重实根;

 

时,方程的三个实根中有两个相等;

 时,方程有三个不等的实根。

 
 
 
 

三角函数解编辑

 ,其中 

若令 ,则

 

 

 

卡尔丹诺法编辑

 為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根 ,然後把方程 除以 ,就得到一個二次方程,而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域,所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。

解方程步驟:

  • 把原來方程除以首項係數 ,得到:
 ,其中   
  • 代換未知項 ,以消去二次項。當展開 ,會得到 這項,正好抵消掉出現於 的項 。故得:
 ,其中  是域中的數字。
  
  •  。前一方程化為 
展開: 
重組: 
分解: 
因為多了一個未知項(  代替了 ),所以可加入一個條件,就是:
 ,由此導出 
  •   。我們有  因為 。所以  是輔助方程 的根,可代一般二次方程公式得解。

接下來,    的立方根,適合  ,最後得出 

在域 裡,若  是立方根,其它的立方根就是  ,當然還有  ,其中 ,是1的一个复数立方根。

因為乘積 固定,所以可能的    。因此三次方程的其它根是  

判别式编辑

最先嘗試解的三次方程是實係數(而且是整數)。因為實數域並非代數封閉,方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在 裡,就是 的代數閉包。其中差異出現於  的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式 

  •  ,方程有一个实根和两个共轭複根;
  •  ,方程有三个实根:当 时,方程有一个三重实根;当 时,方程的三个实根中有两个相等;
  •  ,方程有三个不等的实根: 其中 (注意,由於此公式應對於 的形式,因此這裡的 實際上是前段的 ,應用時務必注意取負號即 )。

注意到实系数三次方程至少有一實根存在,這是因為非常數多項式  極限無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因为多項式是連續函數,所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子编辑

 

我們依照上述步驟進行:

  •  (全式除以 
  •  ,代換: ,再展開 
  •    。設     的根。
  
  
 
 

该方程的另外两个根:

 
 

第二个例子编辑

这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。

方程是 

从函数 算出判别式的值 ,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做,做第三步:   

  

   的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。

我们解出  。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设 

 等价于:
 (实部)
 (虚部)
 (模)

得到  ,也就是 ,而 是其共轭: 

归结得 ,可以立时验证出来。

其它根是  ,其中 

 是负,  共轭,故此  也是(要适当选取立方根,记得 );所以我们可确保 是实数,还有  

盛金公式法编辑

 ,其中系数皆为实数。

判别式编辑

重根判别式: 

总判别式: 

情况1: 编辑

 

情况2: 编辑

 ,得:

 

 

 

情况3: 编辑

 ,得:

 

 

情况4: 编辑

 ,得:

 

 

 

极值编辑

驻点的公式编辑

 

将其微分,可得 

极值编辑

 ,可得  中的极值极大值极小值 满足:

 

 

 代入 ,可得 的极值 

 

 

拐点编辑

 

 ,可得 

 

驻点的类型编辑

由函数取极值的充分条件可知:
   极大值点
   极小值点
   拐点

 可知:
  的驻点为极大值点;
  的驻点为极小值点;
  的驻点为拐点。

參見编辑

參考資料编辑

  1. ^ 三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。

外部链接编辑