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在三角形中,两条边的长度之和总是大于第三边。
证明所用的三角形

三角不等式數學上的一個不等式,表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離;亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外,還適用於其他數學範疇及日常生活中。

目录

几何编辑

标量编辑

在三角形ABC中,这个式子用标量可以写作 

当该式取不等号时,可以由欧几里得第五公设导出;欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20:(证明所用的辅助图像见右)[1]

现在,我们有三角形ABC。延长AB至点D,并使BD=BC,联结DC。

那么,三角形BCD为等腰三角形,所以 。记它们均为 

根据欧几里得第五公设,角 也就是 大于角  ,也就是 );

由于角 对应边AD,角 对应边AC,因此AD>AC(大角对大边,命题19)。[2]

又由于DB=BC,所以AD=AB+BD=AB+BC>AC,即证。

如果我们将该式左右各减去BC,便能得到AB>AC-BC,这便是三角不等式的另一种表达方法:三角形的两边之差小于第三边

当该式取等号的时候,其已经不属于欧氏几何的范畴,这种情况只有可能在球面三角形中出现,此时 ,而a, b, c为三角形三边的长。

向量编辑

向量的写法,这个不等式可以写成:

 

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到 ,该式也可以写成: ,这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系,则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中,向量 的方向向量为 ,向量 的方向向量为 

那么因为 ,得向量 的方向向量为 

因此,  

所以, 

  

两者相减再配方,得到 ,该式实际上是 的值。

当且仅当 时,该式的值为0,而此时我们可以推出 ,这说明    都是平行的。而由于 ,也就是向量 的终点和 ,也就是向量 的起点是相同的,显然  共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的,只有在非欧几何的情况下才能成立。用  平行也一样能够推出  共线。

其他任何情况,也就是 时,该式取到不等号,适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量,同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

實數编辑

在实数中,此式依然成立: 

證明如下:

考慮到實數的平方必然是非负数,將兩邊平方,使它剩下一套絕對值符號:

 
 

對於 (即a, b彼此異號), 

對於 (即a, b彼此同號), 

像几何中的情况一样,该式的推论为: 

反方向编辑

閔可夫斯基空間,三角不等式是反方向的:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y   V,使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見编辑

参考文献编辑

  1. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 20. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. 
  2. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 19. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09].