三角化八面體

幾何學中,三角化八面體又稱三角三八面體[1][2] 是一種卡塔蘭立體,其對偶多面體截角立方體[3][4],可以視為在正八面體每個面上加入三角錐的結果[5] ,但由於有另一種多面體也是由正八面體每個面上加入三角錐的結果,為大三角化八面體,差別在於大三角化八面體是向內加入角錐[6],而此多面體向外加入角錐,為了區別兩者差異,因此有時也會稱此多面體為小三角化八面體[4]

三角化八面體
三角化八面體
(點選檢視旋轉模型)
類別卡塔蘭立體
對偶多面體截角立方体
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
施萊夫利符號dt{4,3}
康威表示法kO
dtC
性質
24
36
頂點14
歐拉特徵數F=24, E=36, V=14 (χ=2)
二面角147°21′00″
arccos(−3 + 82/17)
組成與佈局
面的佈局
英语Face configuration
V3.8.8
DU09 facets.png

等腰三角形
頂點佈局
英语Vertex_configuration
8{3}+6{8}
對稱性
對稱群Oh英语Octahedral symmetry, B3, [4,3], (*432)
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
O, [4,3]+, (432)
特性
凸、面可遞英语face-transitive
圖像
立體圖
Truncated hexahedron.png
截角立方体
(對偶多面體)
Triakisoctahedron net.png
(展開圖)
三角化八面體的旋轉透視圖。

礦物學中,這種形狀又稱為三八面體[2](英語:trisoctahedron[7][8][4]),部分的礦石可以結晶成這種形狀[9],例如螢石[10]

性質编辑

三角化八面體是一個卡塔蘭立體,為阿基米德立體——截角立方體的對偶多面體[4],因此具有面可遞的性質。

三角化八面體是一種二十四面體[4],由24個面、36條邊和14個頂點組成[11],其中24個面為全等等腰三角形,頂點可分為2種,一種為8個等腰三角形的公共頂點,另一種為3個等腰三角形的公共頂點。

三角化八面體可以視為將正八面体各個面從中心切割成3個等腰三角形所形成的多面體[12]

三角化八面體菱形正方形傾斜四十五度)四邊各加一個等腰三角形拼成的正八邊形立體幾何中的推廣。

體積與表面積编辑

一個最短邊長為1三角化八面體,它的表面積 體積 [4]

面的組成编辑

三角化八面體由24個全等等腰三角形組成。

 

組成三角化八面體的等腰三角形的2個底角為arccos 約為31.4°[13],由三角形內角關係可知頂角約為117.2°[14][13],邊長比為1:1: [15][13]

頂點坐標编辑

若一個三角化八面體最短邊長為2且幾何中心位於原點,則其頂點坐標為[16]

 
 
 
 

正交投影编辑

 
三角化八面體的三維骨架模型。

三角化八面體有3個特殊的正交投影,分別為於稜上投影、於8個等腰三角形的公共頂點上投影和於3個等腰三角形的公共頂點上投影。

正交投影
投影
對稱性
[2] [4] [6]
三角化
八面體
     
截角
立方體
     

球面鑲嵌编辑

三角化八面體也可以表示為球面鑲嵌,也可以透過施莱格尔投影英语Schlegel diagram,於平面上呈現。而其施莱格尔投影的結果在圖論中是一種阿基米德對偶圖[17],稱為小三角化八面體圖[18]

   
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

使用编辑

 
三角化八面體外型的骰子。

三角化八面體出現在部分的藝術創作中,例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作[19]。部分小說也有使用三角化八面體進行創作,如休伊·庫克英语Hugh Cook的系列小說《黑暗時代的編年史英语Chronicles_of_an_Age_of_Darkness》中的《希望之石與奇蹟工人英语Chronicles of an Age of Darkness#The Wishstone and the Wonderworkers》。除了藝術創作外,常見文化也有關於三角化八面體的使用,例如部分的魔術方塊骰子之外型。

相關多面體與鑲嵌编辑

三角化八面體可以經由八面體透過三角化變換構造,即將正八面體每個面貼上三角錐來獲得。其他也是由正八面體透過康威變換得到的多面體有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

三角化八面體是由等腰三角形組成,且對偶多面體由正八邊形正三角形交錯組成。同樣由等腰三角形組成,且對偶多面體由正多邊形與正三角形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括:

*n32變異對稱性的截角鑲嵌英语Template:Truncated figure1 table: 3.2n.2n
對稱性
*n32
[n,3]
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 非緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
截角鑲嵌                
頂點英语Vertex configuration 3.4.4 3.6.6 3.8.8 3.10.10 3.12.12 3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling 3.16.16英语Truncated octagonal tiling 3.∞.∞英语Truncated order-3 apeirogonal tiling
三角化
鑲嵌
               
頂點英语Vertex configuration V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling V3.16.16英语Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling V3.∞.∞英语Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling

類似前面提到的概念,三角化八面體是由等腰三角形組成,且對偶多面體由正八邊形正三角形交錯組成。同樣由等腰三角形組成,且對偶多面體由正八邊形與其他正多邊形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括:

*n42變異對稱性的截角鑲嵌: n.8.8
對稱性
*n42英语Orbifold notation
[n,4]
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲鑲嵌 仿緊雙曲鑲嵌
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
截角
               
頂點英语Vertex configuration 2.8.8 3.8.8 4.8.8 5.8.8英语Truncated order-5 square tiling 6.8.8英语Truncated order-6 square tiling 7.8.8英语Truncated order-7 square tiling 8.8.8 ∞.8.8英语Truncated infinite-order square tiling
n-角化
               
頂點英语Vertex configuration V2.8.8 V3.8.8 V4.8.8 V5.8.8 V6.8.8 V7.8.8 V8.8.8 V∞.8.8

其他三角化八面體编辑

 
各種三角化後的八面體變種連續動畫。

三角化八面體一般是指截角立方體的對偶多面體,但三角化八面體一詞原意應為「三角化後的八面體」,換句話說,即在八面體的面上加入三角錐的多面體也可以稱為三角化八面體。

角錐
高度增加
圖像          
種類 三角化八面體 菱形十二面體 星形八面體
加入錐高
正八面體
邊長1
+0.099
 [4]
+0.289
 
+0.5 +0.816
 [20]
+1.5
說明 加入角錐
至側面等角
加入角錐
至側面共面
加入角錐
使之成為
凹多面體
加入正四面體[20]
角錐
高度減少
允許負值
(向內加入)
圖像          
種類 三角化八面體 正八面體 凹三角錐八面體 大三角化八面體
加入錐高
正八面體
邊長1
+0.099
 
0 -0.408
 
-1 -1.394
 
說明 加入角錐
至側面等角
原始形狀 向內加入角錐
錐尖抵達幾何中心
向內加入角錐
錐尖從另一側凸出

大三角化八面體编辑

 
大三角化八面體

大三角化八面體的是一個拓樸結構與三角化八面體相同的多面體。三角化八面體是由正八面體的每個面上加入角錐構成,而大三角化八面體則是在正八面體的每個面中加入穿過對面的面的倒角錐而成[6],這種在面上加入倒角錐的做法使其與三角化八面體有一樣的拓樸結構,幾何上的差異在於,大三角化八面體和三角化八面體一個是向外加入角錐[21]、一個是向內加入角錐。

 
星形八面體

星形八面體编辑

星形八面體一般是指由兩個正四面體組合成的複雜多面體,複雜多面體是指該多面體有出現面與面相交的多面體,而簡單多面體則是面與面沒有自相交情況的多面體。對於與星形八面體外形相同的簡單多面體則也可以視為在正八面體每個面階貼上三角錐的結果,其貼上的三角錐為正四面體[20]

這樣子的組合也可以看做是正八面體四維錐英语Octahedral pyramid展開圖[22]

小三角化八面體圖编辑

小三角化八面體圖
 
分布3 (8個)
8 (6個)
顶点14
36
半径2
直径3
围长3
色数4
對偶圖截角立方體圖
属性平面, 可積英语Integral graph

圖論的數學領域中,與三角化八面體相關的圖為小三角化八面體圖(Small Triakis Octahedral Graph),是三角化八面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton[18],是一個阿基米德對偶圖[17]

性質编辑

小三角化八面體圖有36條邊和14個頂點,其中為3的頂點有8個;度為8的頂點有6個。

 

參考文獻编辑

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 17, Triakisoctahedron)
  3. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis octahedron)
  1. ^ Clipart tagged: ‘forms’. etc.usf.edu. [2018-08-28]. (原始内容存档于2018-08-28). 
  2. ^ 2.0 2.1 三八面體 triakisoctahedron (trisoctahedron). 國家教育研究院. [2018-08-27]. (原始内容存档于2018-08-28). 
  3. ^ Catalan Solids: Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-28]. (原始内容存档于2018-02-01). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 埃里克·韦斯坦因. Small Triakis Octahedron. MathWorld. 
  5. ^ Triakis Octahedron Calculator. rechneronline.de. [2018-08-28]. (原始内容存档于2018-08-28). 
  6. ^ 6.0 6.1 埃里克·韦斯坦因. 大三角化八面體. MathWorld. 
  7. ^ Correns, C. W. Einführung in die Mineralogie (Kristallographie und Petrologie). Berlin: Springer-Verlag. 1949: p. 41. 
  8. ^ Berry, L. G. and Mason, B. Mineralogy: Concepts, Descriptions, Determinations. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1959., p. 127
  9. ^ 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. (原始内容 (PDF)存档于2018-08-31). 
  10. ^ 高田雅介 著. 日本産鉱物の結晶形態 : 高田鉱物標本・結晶図集. 今井裕之. 2010年4月 (日语). 
  11. ^ triakisoctahedron. bulatov.org. [2018-08-28]. (原始内容存档于2017-12-06). 
  12. ^ geomzome. 三方八面体 The Triakisoctahedron [3,8,8]. 2009-12-26 [2018-08-30]. (原始内容存档于2016-07-25). 
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 Triakis octahedron. fillygons.ch. [2018-08-30]. (原始内容存档于2018-08-30). 
  14. ^ Pugh, A. Polyhedra: A Visual Approach. The Dome series. University of California Press: 43. 1976 [2018-08-30]. ISBN 9780520030565. LCCN 74027297. (原始内容存档于2019-06-29). 
  15. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. 2002: 2732-2733. ISBN 9781420035223. [失效連結]
  16. ^ Data of Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-30]. (原始内容存档于2017-10-31). 
  17. ^ 17.0 17.1 埃里克·韦斯坦因. Small Archimedean Dual Graph. MathWorld. 
  18. ^ 18.0 18.1 埃里克·韦斯坦因. Small Triakis Octahedral Graph. MathWorld. 
  19. ^ Forty, S. M.C. Escher. Cobham, England: TAJ Books, 2003.
  20. ^ 20.0 20.1 20.2 埃里克·韦斯坦因. Stella Octangula. MathWorld. 
  21. ^ 埃里克·韦斯坦因. Triakis octahedron. MathWorld. 
  22. ^ Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, x3o4o - oct

外部連結编辑