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Δ形电路和Y形电路

Y-Δ变换或稱為星角變換,是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路,或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利英语Arthur Kennelly於1899年发表。[1]

基本的Y-Δ变换编辑

设R1、R2、和R3分别是Y形电路中从N1、N2、N3到中点的阻抗,Ra、Rb、Rc分别是Δ形电路中N1与N3、N1与N2、N2与N3之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路,或把Δ形电路换成Y形电路后,任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

把Δ形电路变换成Y形电路编辑

变换的基本思路是用  计算Y形电路端点的阻抗 ,其中  是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗:

 

其中 是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下:

 
 
 

或者可以简记为 Y形电阻 = Δ形连接相邻电阻的乘积/Δ形连接电阻之和

把Y形电路变换成Δ形电路编辑

变换的基本思路是计算Δ形电路的 

 

其中 是Y形电路中的阻抗两两相乘之和,  所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为:

 
 
 

或者可以简记为 Δ形连接电导 = Y形连接相邻电导的乘积/Y形连接电导之和

图论编辑

图论中,Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换後的边数不变,但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到,那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如,佩特森圖就是一个Y-Δ等价类

推导编辑

Δ形负载到Y形负载的变换方程编辑

要将Δ形负载{ }变换成Y形负载{ },需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗,需要将电路中的一个节点断开。

Δ形电路中N3断开後,N1N2间的阻抗为

 

将{ }之和用 表示以简化方程:

 

得到

 

Y形电路中N12的对应阻抗为

 

由以上两式得到:

    (1)

同理,对於  ,也分别有

    (2)


    (3)

由此,{ }的值可以由以上式子的线性组合(相加或相减)求出。

例如,将式(1)和式(3)相加,然後减去式(2)会得到

 
 

於是

 

其中  

求出所有的阻抗值如下:

  (4)


  (5)


  (6)

Y形负载到Δ形负载的变换方程编辑

 .

则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

    (1)


    (2)


    (3)

将以上式子两两相乘得到

    (4)


    (5)


    (6)

上式之和为

    (7)

将右侧式子中的公因式 提出,约去分子中的 和分母中的一个 後得到

 
  (8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性,

将式(8)除以式(1)得到

 
 

得到 的表达式。同理,将式(8)除以  也能得到相应的表达式。


参考文献编辑

  • William Stevenson,“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
  1. ^ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.