上极限和下极限

上極限(limit superior)跟下極限(limit inferior)是數學中的概念,數列的上极限和下极限可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說,數列 的上極限為 1,下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。(参见函数的极限)。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点上确界下确界

上极限和下极限的示意图。數列 xn 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 xn 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收歛

定义编辑

序列 的上极限定义是

 

或者

 

同样的,序列 的下极限定义是

 

或者

 

这些定义在任意的偏序集都适用,只需要上确界下确界存在。 在完全格裡,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当  都存在,那么

 

上极限和下极限也记为  

实数数列编辑

实数集 R数列微积分很重要。R 不是完備格,但可以加入正负无穷以得到完備全序集  ,形成完備格。那么在   中数列   收敛当且仅当  ,而这时   等于上面的共同值。(注意当只是考虑 R 时,收敛至    并不当作收敛,而是視作極限不存在。)

若實數數列   的上極限為實數(即為有限,不是   ),那麼上極限是最小的實數 a,使得對任意小的正實數  ,都存在足夠大的正整數 N,使得對所有  ,都有  。換言之,對任何大於上極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列  上界

若實數數列   的下極限為實數,那麼下極限是最大的實數 b,使得對任意小的正實數  ,都存在足夠大的正整數 N,使得對所有  ,都有  。換言之,對任何小於下極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列  下界

  是整數數列。若其上極限為實數 a,由於   也符合上述條件,故此 a 必是整數。(  是不大於 a 的最大整數。)在條件中取  ,得出 a 是最小的實數,使得存在正整數 N,對所有  ,都有  。因此 a 是最大的整數,使得有無限個  。同樣地,若其下極限為實數 b,則 b 是最小的整數,使得有無限個  

   ,那么区间   不一定包含任何的  ,但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子编辑

  •  ,則  。閉區間[-1, 1]中不包含任何 
  • 考虑数列 。应用π无理数性质,可以证明  。(數列 取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的,故得出結果。由等分佈定理,更可知這數列在區間中是等分佈的。)
 
其中 是第 素数
下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而這個下極限是否為有限,是數論中長久以來的未解問題。直到2013年,張益唐首次證明下極限的值有限,並且小於7千萬。[1]截至2014年9月,下極限的值的上界已降至246。[2]由整數數列的下極限性質可知,有無限多的正整數n,使得 不大於246。

集的序列编辑

集合X冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下极限也有用处。

 是这样的序列,那么X的元素a属于 ,当且仅当存在自然数 使得对于所有 a 裡。元素a属于 ,当且仅当对所有自然数 ,都存在一个指数 使得a 裡。换句话说, 包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n,使得它在集合 裡;而 包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n,使得它在 裡。

以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:

 

 为自 起的集合的下确界。那么序列 非递减,因为 。所以,第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限:

 

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:

 

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个裡面)。

 

例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)。

引用编辑

  • Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 
  • González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154. 
  1. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10]. (原始内容存档于2014-03-11) (英语). 
  2. ^ Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24].