严谨 (数学)

数学上,严谨不同于生活中的严谨,它指数学系统尤指公理系统完备性相容性

完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论;自洽性指公理系统内不存在悖论(即既是真又是假的命题)。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何,或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一,但后两者并不满足完备性要求,只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性哥德爾不完備定理并不矛盾,前者断言不存在既真又假的命题,而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题,就好比第五公设之于欧几里得几何连续统假设之于公理化集合论选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论

参考文献编辑

  • 参见徐利治的《微积分大意》