乌雷松引理

拓扑学中,乌雷松引理,有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”,通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用,因为所有的度量空间豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述编辑

乌雷松引理说明,  是一个正规拓扑空间,当且仅当只要    不交闭子集,就存在一个从  单位区间   的连续函数:

 

使得对于所有  ,都有  ,而对于所有  ,都有  

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数

注意    以外的元素   並不需要使得   。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间,例如「吉洪诺夫性质」和「完全豪斯多夫空间」的表述。例如,这个引理的一个推论是:正规的T1空间吉洪诺夫空间

证明编辑

 
乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数  ,我们构造   的一个开子集  ,使得:

  1.  ,且对于所有的   
  2. 对于   閉包位于   内。

有了这些集合以后,我们便定义   对于所有  。利用二进有理数是稠密的事实,便不难证明   是连续的,且具有性质   

为了构造集合  ,我们还需要做更多事情:我们构造集合   ,使得:

  • 对于所有的  ,都有   
  • 对于所有的     都是开集和不交的;
  • 对于    包含在   的补集之内,而   的补集包含在   之内。

由于   的补集是闭集,且含有  ,因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于   是正规的,我们便可以找出两个不交的开集   ,分别含有   。现在假设  ,且集合    对于   已经构造了。由于   是正规的,我们便可以找出两个不交的开集,分别含有   的补集和   的补集。称这两个开集为   ,并验证以上的三个条件成立。

参考文献编辑