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九點圓

九點圓(又稱歐拉圓費爾巴哈圓),在平面幾何中,對任何三角形,九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂足、和頂點到垂心的三條線段的中點。九點圓定理指出對任何三角形,這九點必定共圓。而九點圓還具有以下性質:

  • 九點圓的半徑外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
  • 圓心歐拉線上,且在垂心外心的線段的中點。
  • 九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切(費爾巴哈定理)。
  • 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓(庫利奇-大上定理)。

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歷史编辑

1765年,萊昂哈德·歐拉證明:「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓(六點圓)。」許多人誤以為九點圓是由而歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列(1821年)。1822年,卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓,並得出「九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切」,因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓,並稱這四個切點費爾巴哈點庫利奇大上分別於1910年與1916年發表庫利奇-大上定理「圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓,此結果還可推廣到n邊形。

九點圓证明编辑

如圖:   為三邊的中點,   為垂足,   為和頂點到垂心的三條線段的中點。

  • 容易得出  SAS相似
  • 因此 
  • 同樣可得出  (SAS相似)
  • 因此 
  •  ,可得出四邊形 矩形(四點共圓)
  • 同理可證 也是矩形( 共圓)
  •  ,因此可知 也在圓上(圓周角相等)
  • 同理可證  兩點也在圓上(九點共圓)

性質證明编辑

九點圓的半徑是外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

  • 直角坐標系中,我們知道的方程為 ,其中 為圓的半徑, 為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點 的中點的軌跡,則此軌跡的方程式為:
 
  •  為外接圓的半徑、 為外接圓的圓心坐標、點 為垂心坐標。
  • 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點,故此軌跡圓就是九點圓,半徑是外接圓的一半,且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
  • 同時還可以得出下面的性質:
  • 圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。由此可知,給定三角形頂點座標,九點圓圓心為

 

  • 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓(庫利奇-大上定理)。

其他编辑

  • 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足(相对于对棱)共球的特例,两者是同构的
  • 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
  • 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
  • 三線坐標中,九點圓的座標為 
  • 三線坐標中,費爾巴哈點的座標為 

參見條目编辑

參考資料编辑