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二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素:二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。

如在运算1+2之中,二元运算符为“+”,而该运算符作用的操作数分别为1与2。

二元运算只是二元函数的一种,由于它被广泛应用于各个领域,因此受到比其它函数更高的重视。

定义编辑

给定集合 ,二元函数 称为集合 上的二元运算。给定集合 中两个元素  ,则按顺序通常写为 F 。更多时候,二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出,“集合 上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在 上封闭。

常用性质和术语编辑

关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

幺元编辑

 :  是集合 上的二元运算, ,则:

  •    下的左幺元,若 满足: 
  •    下的右幺元,若 满足: 
  •    下的幺元,若 满足:i既是 在二元运算 下的左幺元,又是 在二元运算 下的右幺元。

逆元编辑

 :  是集合 上的二元运算, ,   下的幺元。则:

  •    下的左逆元,若 满足: 
  •    下的右逆元,若 满足: 
  •    下的逆元,若 满足:a既是  下的左逆元,又是  下的右逆元。(显然此时 也是 的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素 的逆元通常记为 

零元编辑

 :  是集合 上的二元运算, ,则:

  •    下的左零元,若 满足: 
  •    下的右零元,若 满足: 
  •    下的零元,若 满足:z既是  下的左零元,又是  下的右零元。

零因子编辑

 :  是集合 上的二元运算,  ,   下的零元。则:

  •   中在 下的左零因子,若 满足: ,使 
  •   中在 下的右零因子,若 满足: ,使 
  •    下的零因子,若 满足:a既是  下的左零因子,又是  下的右零因子。

交換律编辑

 :  是集合 上的二元运算,则: 称 满足交换律,若 满足: 

结合律编辑

 :  是集合 上的二元运算,则: 称 满足结合律,若 满足: 

幂等律编辑

 :  是集合 上的二元运算,则: 称 满足幂等律,若 满足: 

幂幺律编辑

 :  是集合 上的二元运算,i是  下的幺元, 则:称 满足幂幺律,若 满足: (显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律编辑

 :  是集合 上的二元运算,z是  下的零元, 则:称 满足幂零律,若 满足: ,有 (显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

分配律编辑

 :    :  是集合 上的两个二元运算,则:

  •    满足左分配律,若   满足: ,有 
  •    满足右分配律,若   满足: ,有 
  •    满足分配律,若   滿足左分配律以及右分配律;