二次互反律的证明

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二次互反律的叙述编辑

对于两个奇素数  [1]其中, 勒让德符号

证明一编辑

 是一个奇素数并且 。对于每个 ,这样定义  

 ,其中  。通过分别考虑  的情况,易证每个 都两两不等。

现在考虑 。因为每个 都两两不等,所以 就是 的一个重排列。所以我们得到 ,因此 

现在考虑 的正负情况。 等价于 。若 ,则有 。注意到 ,将等式两边同时乘2得到 ,其中 ,可以发现 是偶数,而 也是偶数。同理可证若  ,而 是奇数。据此,可以知道 ,其中  的符号,也就是 还是 

所以 。又由欧拉准则 ,所以 

如果 是奇数,同时考虑勒让德符号的性质 ,可知 ,其中最后一步利用了等差数列的求和公式。

但是,当 时,由上式可得 ,所以 

现在令  为奇素数,可得 以及 

所以 

现在考虑右边这幅图:设 ,则 代表了三角形A中的格点个数, 代表了三角形B中的格点个数。它们加在一起等于整个 长方形的格点个数的四分之一。需要注意的是由于 互素,所以对角线上不可能有格点。

由于整个长方形的格点个数是 ,所以 ,即得 

参考文献编辑

  1. ^ 高斯二次互反律. [2019-12-08]. (原始内容存档于2019-12-08).