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二次规划Quadratic programming),在运筹学当中,是一种特殊类型的最佳化问题。

簡介编辑

一個有n個變數與m個限制的二次規劃問題可以用以下的形式描述。首先給定:

  • 一個n 維的向量 c
  • 一個n × n 維的對稱矩陣Q
  • 一個m × n 維的矩陣A
  • 一個m 維的向量 b

則此二次規劃問題的目標即是在限制條件為

 

的條件下,找一個n 維的向量 x ,使得

 

為最小。其中  的转置。

根據不同的參數特性,可以得到對問題不同的結論

  • 如果Q是半正定矩阵,那么f(x)是一个凸函数。相应的二次规划为凸二次规划问题;此时若约束条件定义的可行域不为空,且目标函数在此可行域有下界,则该问题有全局最小值。
  • 如果Q是正定矩阵,则该问题有唯一的全局最小值。
  • 若Q为非正定矩阵,则目标函数是有多个平稳点和局部极小点的NP难问题
  • 如果Q=0,二次规划问题就变成线性规划问题。

根据优化理论,一个点x成为全局最小值的必要条件是满足Karush-Kuhn-Tucker条件(KKT)。当f(x)是凸函数时,KKT条件也是充分条件。

当二次规划问题只有等式约束时,二次规划可以用线性方程求解。否则的话,常用的二次规划解法有:

  • 内点法(interior point)
  • active set
  • 共轭梯度法
  • 椭球法 若Q为正定矩阵,则相应的二次规划问题可由椭球法在多项式时间内求解。
  • 增广拉格朗日法
  • 梯度投影法

凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。

对偶编辑

每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。我们以正定矩阵Q为例:

 

对偶问题 ,可定义为

 

我们可用 :得到 的极小

 ,

对偶函数:

 

对偶问题为:

maximize : 

subject to : 

计算复杂性编辑

当Q正定时,用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q非正定时,二次规划问题是NP困难的(NP-Hard)。即使Q只存在一个负特征值时,二次规划问题也是NP困难的。