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雪花有正六邊形的二面體對稱。

數學中,二面體群 是正 邊形的對稱群,具有 個元素。某些書上則記為 。除了 的情形外, 都是非交換群。

群论
Rubik's cube.svg

目录

生成元與關係编辑

抽象言之,首先考慮  循環群  。反射    上的自同構,而且  。定義二面體群為半直積

 

任取   的生成元     生成,其間的關係是

 

  的元素均可唯一地表成  ,其中   

幾何詮釋编辑

 
n=5 的情形:反射對稱
 
n=5 的情形:旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群   中由

  (旋轉   弧度)
  (對 x 軸反射)

生成的子群。由此不難看出   是正 n 邊形的對稱群。

性質编辑

  •   的中心在   為奇數時是  ,在   為偶數時是  
  •   為奇數時,  同構於   與二階循環群的直積。同構可由下式給出:
 

其中   

  •   為奇數時,  的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當   為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正   邊形的頂點。
  •  ,則  ,由此可導出   共有   個子群,其中的算術函數    分別代表   的正因數個數與正因數之和。

表示编辑

  為奇數時,  有兩個一維不可約表示:

 

  為偶數時,  有四個一維不可約表示:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
正八邊形的停車標誌 群作用下的結果
 

其餘不可約表示皆為二維,共有   個,形如下式:

 

其中   是任一 n 次本原單位根  。由   給出的表示相等價若且唯若  

文獻编辑