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二體問題

在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。
兩個質量相等的粒子,依循各自橢圓軌道,繞著質心公轉。
兩個質量稍微不同的粒子的運動,依循各自橢圓軌道,繞著質心公轉。這種軌道的尺寸與形狀類似冥王星-冥衛一系統。

經典力學裏,二體問題英语:two-body problem)研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文問題,常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題,其中一個是平凡的單體問題,另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解exact solution),即不需借助近似方法就可得到問題的解答;其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地,除了特別案例以外,三體問題(或者更複雜的多體問題)並沒有精確解。

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約化為兩個獨立的單體問題编辑

在一個物理系統裏,假設兩個粒子的質量分別為  ,在時間 的初始位置分別為  ,初始速度分別為  ,計算這兩個粒子的軌跡函數  的問題,稱為二體問題。

根據牛頓第二定律

 (1)
 (2)

其中, 表示粒子B施加於粒子A的作用力

 
二體問題的雅可比坐標(Jacobi coordinates)為質心坐標 和相對坐標 ;其中,  [1]

將方程式(1)與方程式(2)相加,可以得到一個方程式,專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減,則可得到描述兩個粒子相對的位移向量 與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來,就可以求得軌跡函數  

質心運動(第一個單體問題)编辑

質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出:

 

其中, 是系統的總質量。

質心的加速度為:

 

由於沒有外力作用,將方程式(1)與(2)相加,根據牛頓第三定律,可以得到

 

因此,質心的加速度等於零,質心的速度 為常數:

 

這物理系統的動量守恆

 

從兩個粒子的初始位置和初始速度,就可以決定質心在任意時間的位置:

 

位移向量運動(第二個單體問題)编辑

將方程式(1)、(2)分別除以  ,然後相減,可以得到

 

其中, 是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用牛頓第三定律 。所以,

 

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置 的函數,而不是絕對位置  的函數;否則,無法滿足物理的平移對稱,物理定律會因地而易,二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說,在宇宙中,兩個粒子的絕對位置無關緊要,因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子,是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地,這是一個不實際的問題,可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求,兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置 的函數。這樣,相減得到的方程式寫為

 

其中, 約化質量

一旦求得函數  ,就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式  

 
 

角動量编辑

兩個粒子的總角動量 

 

其中, 是質心對於原點的角動量, 是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式,

 

為了簡化分析,設定質心的初始位置為 。也就是說,質心的直線運動經過原點。那麼,

 
 

角動量守恆與連心力编辑

二體問題的總力矩 

 

在物理學裏,時常會遇到的萬有引力靜電力等等,都是連心力。假設,作用力 是連心力,則  同直線,總力矩 等於0。根據角動量守恆定律

 

因此,總角動量 是個常數,總角動量守恆。

請注意,並不是每一種力都是連心力。假設,兩個粒子是帶電粒子。由畢奧-薩伐爾定律勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩 不等於0。總角動量不守恆;這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若,將電磁場的角動量計算在內,則角動量守恆定律仍舊成立[2]

在很多物理系統裏,作用力 是一種連心力,以方程式表示為

 

其中, 是徑向距離, 是徑向單位向量

這物理系統的運動方程式

 

更詳盡細節,請參閱條目經典連心力問題classical central force problem)。

平面運動與角動量守恆编辑

總角動量與 點積

 

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於 的平面。假設作用力為連心力,則由於角動量守恆,這兩個粒子必定運動於某特定平面,而常數向量 垂直於這平面。

參閱编辑

參考文獻编辑

引用编辑

  1. ^ David Betounes. Differential Equations. Springer. 2001: 58; Figure 2.15. 
  2. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 7–8. ISBN 0201657023 (英语). 

来源编辑

书籍